Annexe B : Estimations de la volatilité. Real Options Valuation Évaluateur d’options financières exotiques, MSLS, Créateur de treillis, Fonctions SLS, MNLS, Solution Excel SLS, SLS

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Annexe B : Estimations de la volatilité

Il existe plusieurs méthodes pour calculer la volatilité dans les modèles d’option. Les approches les plus courantes et les plus valides sont :

 Approche des rendements de flux monétaires logarithmique ou approche des

rendements du prix de l’action logarithmique : Utilisée essentiellement pour calculer la volatilité des actifs liquides ou échangeables, tels que les actions dans les options financières. Parfois utilisée pour d’autres actifs marchands comme le prix du pétrole et le prix de l’électricité. L’inconvénient est que les modèles de flux monétaires actualisés avec seulement quelques flux monétaires auront généralement tendance à exagérer la volatilité et cette méthode ne peut pas être utilisée en cas de flux monétaires négatifs. Les avantages sont la facilité de calcul, la transparence et la souplesse de modélisation de la méthode. En outre, aucune simulation n’est requise pour obtenir une estimation de la volatilité.

: Utilisée essentiellement pour calculer la volatilité des actifs avec des flux monétaires, une application typique étant avec les options réelles. L’inconvénient de cette méthode est qu’une simulation est requise pour obtenir une seule volatilité et qu’elle n’est pas applicable aux actifs liquides très échangés comme le prix des actions. Les avantages incluent la possibilité de traiter certains flux monétaires négatifs et l’application d’une analyse plus rigoureuse que l’approche des rendements de flux monétaires logarithmique, fournissant une estimation de la volatilité plus précise et plus modérée lors de l’analyse des actifs.

 Modèles GARCH (hétéroscédasticité conditionnelle auto-régressive généralisée) :

Utilisés essentiellement pour calculer la volatilité des actifs liquides ou échangeables, tels que les actions dans les options financières. Parfois utilisés pour d’autres actifs marchands comme le prix du pétrole et le prix de l’électricité. L’inconvénient de cette approche est qu’elle nécessite beaucoup de données, une expérience de la modélisation

économétrique avancée et qu’elle est très susceptible aux manipulations de l’utilisateur.

L’avantage est qu’une analyse statistique rigoureuse est effectuée pour trouver la courbe de volatilité la mieux ajustée, fournissant différentes estimations de la volatilité dans le temps.

 Suppositions et conjectures de la direction : Utilisées pour les options financières et les options réelles. L’inconvénient est que les estimations de la volatilité ne sont absolument pas fiables et ne sont que des conjectures subjectives. L’avantage de cette approche est sa simplicité : cette méthode permet d’expliquer facilement à la direction le concept de volatilité, en termes d’exécution et d’interprétation.

 Index ou données du marché comparables : Utilisés essentiellement pour comparer des actifs liquides et non liquides, tant que des données de marché, de secteur ou d’industrie comparables sont disponibles. L’inconvénient est qu’il est parfois difficile de trouver des entreprises comparables appropriées et que les résultats peuvent être extrêmement manipulés en incluant ou excluant certaines entreprises. L’avantage de cette approche est sa simplicité d’utilisation.

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Estimations de la volatilité (approche des rendements de flux monétaires/du prix de l’action logarithmique)

L’approche des rendements de flux monétaires logarithmique ou approche des rendements du prix de

l’action logarithmique calcule la volatilité en utilisant les estimations de flux monétaires futurs individuelles, des estimations de flux monétaires comparables ou des prix historiques, générant les rendements relatifs logarithmiques correspondants, comme l’illustre la figure B1. En commençant avec une série de flux monétaires futurs prévus ou de prix historiques, convertissez-les en rendements relatifs.

Puis prenez les logarithmes naturels de ces rendements relatifs. L’écart type de ces rendements de logarithmes naturels est la volatilité périodique de la série de flux monétaires. La volatilité périodique résultant du jeu de données échantillon à la figure B1 est 25,58 %. Il faut ensuite annualiser cette valeur.

Quelle que soit l’approche utilisée, l’estimation de la volatilité périodique utilisée dans l’analyse des options réelles ou financières doit être une volatilité annualisée. Selon la périodicité des flux monétaires bruts ou des données de prix de l’action utilisés, la volatilité calculée doit être convertie en valeurs annualisées en utilisant



, où P est le nombre de périodes dans une année et



est la volatilité périodique. Par exemple, si la volatilité calculée en utilisant des données de flux monétaires mensuelles est 10 %, la volatilité annualisée est

10 % 12



35 %

. De la même façon, P est 365 (ou environ 250 si on ne prend en compte que les jours ouvrés, pas tous les jours de l’année) pour les données quotidiennes, 4 pour les données trimestrielles, 2 pour les données biannuelles et 1 pour les données annuelles.

Notez que le nombre de rendements dans la figure B1 est inférieur de 1 au nombre total de périodes. C’est-à-dire que pour les périodes 0 à 5, nous avons six flux monétaires, mais seulement cinq rendements relatifs de flux monétaires. Cette approche est valide et correcte pour l’estimation des volatilités des actifs liquides ou très échangés ––prix des actions historiques, prix du pétrole et de l’électricité historiques–– et est moins valide pour le calcul des volatilités dans l’univers des options réelles, où l’actif sous-jacent génère des flux monétaires. Cela est dû au fait que pour obtenir des résultats valides, de nombreux points de données sont requis, et dans la modélisation des options réelles, les flux monétaires générés en utilisant un modèle de flux monétaires actualisés peuvent n’être que pour 5 à

10 périodes. Inversement, un grand nombre de prix du pétrole ou des actions historiques peuvent être téléchargés et analysés. Avec les jeux de données plus petits, cette approche surestime généralement la volatilité.

Période

Flux monétaires

Rendements relatifs des flux monétaires

Logarithme naturel des rendements de flux monétaires (X)

$100

$125

$95

$105

$155

$146

−

$125/$100 = 1,25

$95/$125 = 0,76

$105/$95 = 1,11

− ln($125/$100) = 0,2231 ln($95/$125) = -0,2744 ln($105/$95) = 0,1001

$155/$105 = 1,48

$146/$155 = 0,94 ln($155/$105) = 0,3895 ln($146/$155) = -0,0598

Figure B1 – Approche des rendements de flux monétaires

L’estimation de la volatilité est ensuite calculée comme suit : où n est le nombre de X et

volatilité





i n







x i





est la valeur moyenne de X.



25 , 58 %

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Pour illustrer plus avant l’utilisation de cette approche, la figure B2 montre le prix de l’action

Microsoft téléchargé à partir de Yahoo! Finance, une ressource gratuite à la disposition du public.

Vous pouvez suivre l’exemple en chargeant l’exemple de fichier : Démarrer | Programmes | Real Options

Valuation | Real Options Super Lattice Solver | Volatility Estimates (Estimations de la volatilité) et sélectionnez l’onglet Log Cash Flow Approach (Approche des flux monétaires logarithmique). Les données des colonnes A à G à la figure B2 sont téléchargées depuis Yahoo. La formule dans la cellule I3 est simplement LN(G3/G4) pour calculer la valeur logarithmique naturelle des rendements relatifs semaine après semaine, et est copiée dans l’ensemble de la colonne. La formule dans la cellule J3 est

STDEV(I3:I54)*SQRT(52) qui calcule la volatilité (en prenant l’écart type de l’ensemble des données des

52 semaines de l’année 2004) annualisée (en multipliant la racine carrée du nombre de semaines dans l’année). La formule dans la cellule J3 est alors copiée dans l’ensemble de la colonne pour calculer une fenêtre mobile de volatilités annualisées. La volatilité utilisée dans cet exemple est la moyenne d’une fenêtre mobile de 52 semaines, qui couvre deux ans de données. C’est-à-dire que la formule dans la

STDEV(I54:I105)*SQRT(52), et bien sûr, la ligne 105 est janvier 2003. Cela signifie que la fenêtre mobile de 52 semaines capture la volatilité moyenne sur une période de deux ans et lisse cette volatilité de façon

à ce que les pics peu fréquents mais extrêmes ne dominent pas le calcul de la volatilité. Bien sûr, une volatilité médiane doit aussi être calculée. Si la volatilité médiane est très différente de la volatilité moyenne, la distribution des volatilités est étalée et il faut utiliser la volatilité médiane. Sinon, utilisez la volatilité moyenne. Enfin, ces 52 volatilités peuvent être saisies dans le Simulateur de risques de simulation de Monte Carlo et peuvent être simulées.

Figure B2 – Calcul de la volatilité annualisée de l’action Microsoft sur un an

Allez à http://fr.finance.yahoo.com et saisissez le code d’une action (par ex. MSFT). Cliquez sur Cours : Données

Historiques, puis sélectionnez Hebdomadaire et la période qui vous intéresse. Vous pouvez alors télécharger les données dans une feuille de calcul afin de les analyser.

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Évidemment, cette approche simple présente des avantages et des inconvénients. Cette méthode est très facile à implémenter, et la simulation de Monte Carlo n’est pas nécessaire pour obtenir une estimation de volatilité à un seul point. Cette approche est mathématiquement valide et est très couramment utilisée pour estimer la volatilité des actifs financiers. Cependant, pour l’analyse des options réelles, plusieurs mises en garde sont nécessaires. Lorsque les flux monétaires sont négatifs pour certaines périodes, les rendements relatifs auront des valeurs négatives, et le logarithme naturel d’une valeur négative n’existe pas. Ainsi, la mesure de la volatilité ne capture pas complètement la baisse possible des flux monétaires et risque de produire des résultats erronés. De plus, les flux monétaires auto-corrélés

(estimés en utilisant des techniques de prévision des séries chronologiques) ou les flux monétaires suivant un taux de croissance statique produiront des estimations de la volatilité erronées. Il faut faire très attention dans de tels cas. Ce problème est neutralisé dans les jeux de données plus volumineux qui ne comprennent que des valeurs positives, comme les prix historiques des actions ou le prix du pétrole ou de l’électricité.

Cette approche est valide et correcte comme calculée à la figure B2 pour les actifs liquides et

échangés avec de nombreuses données historiques. Cette approche n’est pas valide pour le calcul de la volatilité des flux monétaires dans un flux monétaire actualisé à des fins d’analyse d’options réelles à cause du manque de données. Par exemple, les flux monétaires annualisés suivants, 100, 200, 300, 400,

500, produiraient une volatilité de 20,80 %, alors que les flux monétaires annualisés suivants, 100, 200,

400, 800, 1600, produiraient une volatilité de 0 %, et que les flux monétaires suivants, 100, 200, 100, 200,

100, 200, produiraient 75,93 %. Tous ces jeux de flux monétaires semblent assez déterministes et pourtant produisent des volatilités très différentes. De plus, le troisième jeu de flux monétaires auto-corrélés négativement devrait en fait être moins volatile (du fait de sa nature cyclique prédictive et de son retour à un niveau de référence) mais c’est lui qui a la volatilité calculée la plus élevée. Le deuxième jeu de flux monétaires semble plus risqué que le premier à cause des fluctuations plus importantes, mais a une volatilité de 0 %. Faites donc très attention si vous appliquez cette méthode à des jeux de données peu volumineux.

Quand elle est appliquée à des prix d’actions et des données historiques qui ne sont pas négatifs, cette approche est facile et valide. Cependant, si elle est utilisée pour des actifs d’options réelles, les flux monétaires de flux monétaire actualisé risquent d’avoir des valeurs négatives, renvoyant une erreur de calcul (le logarithme d’une valeur négative n’existe pas). Cependant, vous pouvez adopter certaines approches pour éviter cette erreur. La première est de faire passer votre modèle de flux monétaires actualisés des flux monétaires libres aux bénéfices, aux bénéfices d’exploitation (EBITDA), et même jusqu’aux recettes et prix, où toutes les valeurs sont positives. Si vous adoptez cette approche, faites attention de modéliser toutes les autres options et tous les autres projets de cette façon à des fins de compatibilité. De plus, cette approche est justifiée dans les situations où la volatilité, le risque et l’incertitude proviennent de l’utilisation d’une certaine variable au-dessus de la ligne. Par exemple, le seul facteur de succès critique pour une entreprise de pétrole et d’électricité est le prix du pétrole (prix) et le taux de production (quantité), où les deux sont multipliés pou obtenir les recettes. En outre, si tous les autres éléments d’un flux monétaire actualisé sont des rapports proportionnels (par ex. les frais d’exploitation représentent 25 % des recettes ou les valeurs EBITDA représentent 10 % des recettes, et ainsi de suite), alors seule la volatilité des recettes nous intéresse. En fait, si les proportions restent constantes, les volatilités calculées sont identiques (par ex. des recettes de $100, $200, $300, $400, $500, et une valeur EBITDA proportionnelle de 10 % de $10, $20, $30, $40, $50, produisent la même volatilité de 20,80 %). Enfin, en poursuivant l’exemple du pétrole et de l’électricité, le calcul de la volatilité des recettes en supposant qu’aucun autre risque de marché n’existe sous cette ligne de recettes dans les flux monétaires actualisés est justifié car cette entreprise peut avoir des opérations mondiales avec différentes conditions fiscales et aides financières (différents financements des projets). La volatilité doit uniquement s’appliquer aux risques du marché et pas aux risques privés (si le directeur financier est un bon

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négociateur pour l’obtention de prêts étrangers ou si le comptable est capable de créer des abris fiscaux à l’étranger).

Maintenant que vous comprenez les mécanismes du calcul des volatilités avec cette approche, nous devons expliquer pourquoi nous avons fait ce que nous avons fait. Comprendre les mécanismes ne suffit pas pour justifier l’approche ou expliquer la logique de l’analyse choisie. Penchons-nous donc sur les étapes entreprises et expliquons la logique sous-jacente :

Étape 1 : Rassemblez les données pertinentes et déterminez la périodicité et le cadre temporel.

Vous pouvez utiliser des donnés financières de prévision (flux monétaires provenant d’un modèle de flux monétaires actualisés), des données comparables (données de marché comparables comme des indices des secteurs ou des moyennes des industries) ou des données historiques (prix des actions ou du pétrole et de l’électricité). Considérez la périodicité et le cadre temporel des données. En utilisant des données de prévision et comparables, vos choix sont limités à ce qui est disponible ou aux modèles qui ont été créées, et sont typiquement des données annuelles, trimestrielles ou mensuelles, généralement pour une durée limitée. Si vous utilisez des données historiques, vos choix sont plus variés. Typiquement, les données quotidiennes ont trop de fluctuations aléatoires et de perturbations qui peuvent provoquer des calculs de la volatilité erronés. Les données historiques mensuelles, trimestrielles et annuelles sont trop dispersées et toutes les fluctuations inhérentes aux données de séries chronologiques risquent d’être lissées. La périodicité optimale est représentée par des données hebdomadaires si elles sont disponibles.

Toutes les fluctuations au cours d’un même jour et au cours d’une même semaine sont lissées, mais les fluctuations hebdomadaires sont encore inhérentes au jeu de données. Enfin, le cadre temporel des données historiques est également important. Les périodes d’événements extrêmes doivent être considérées avec soin (par ex. la bulle Internet, la récession mondiale, la dépression, les attaques terroristes). C’est-à-dire s’agit-il d’événements réels qui se reproduiront et qui ne sont donc pas des valeurs aberrantes mais font partie du risque systématique impossible à diversifier lié aux affaires ? Dans l’exemple de la figure B2 ci-dessus, c’est un cycle de 2 ans qui a été utilisé. Évidemment, si l’option a une maturité de 3 ans, alors un cycle de 3 ans doit être considéré, sauf si les données ne sont pas disponibles ou si certains événements extrêmes mitigent l’utilisation de données aussi anciennes.

Étape 2 : Calculez les rendements relatifs. Les rendements relatifs sont utilisés dans les moyennes géométriques, alors que les rendements absolus sont utilisés dans les moyennes arithmétiques.

Pour illustrer cela, supposez que vous achetez un actif ou une action pour $100. Vous le conservez pendant une période et sa valeur double pour atteindre $200, ce qui signifie que votre rendement absolu est de 100 %. Vous devenez gourmand et le conservez pendant une période de plus alors que vous auriez dû le vendre et empocher la plus-value. La période suivante, l’actif baisse et retourne à $100, ce qui signifie que vous avez perdu la moitié de sa valeur, soit –50 % en rendement absolu. Votre courtier vous appelle et vous dit que la moyenne de vos rendements pour ces deux périodes est de 25 % (la moyenne arithmétique de 100 % et –50 % est 25 %). Vous avez commencé avec $100 et terminé avec $100, il est donc clair que le rendement n’est pas

25 %. Ainsi, une moyenne arithmétique « gonfle » la moyenne en cas de fluctuations ; la bourse ou votre projet d’options réelles connaît des fluctuations, sinon votre volatilité est très faible et l’option n’a pas de valeur, auquel cas il est inutile d’analyser les options. Une moyenne géométrique est une meilleure méthode de calcul du rendement. Vous pouvez voir ce calcul cidessous et voir que le calcul de la moyenne géométrique inclut le calcul des rendements relatifs.

C’est-à-dire que si la valeur de $100 passe à $200, le rendement relatif est 2,0 et le rendement absolu est 100 %, ou si $100 baisse à $90, le rendement relatif est 0,9 (toute valeur inférieure à

1,0 représente une perte) et le rendement absolu est –10 %. Ainsi, pour éviter de « gonfler » les calculs, nous utilisons les rendements relatifs à l’étape 2.

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Moyenne géométriqu e



PÉRIODES





Valeur de fin de

Valeur de début la période 1 de la période 1









Valeur de fin de la période 2

Valeur de début de la période 2





...





Valeur de fin de la période n

Valeur de début de la période n







Étape 3 : Calculez le logarithme naturel des rendements relatifs. Le logarithme naturel est utilisé pour deux raisons. D’abord pour être comparable au processus stochastique de mouvement brownien exponentiel. Pour rappel, un mouvement brownien s’écrit sous la forme :







(



)



 

200

100

Pour calculer la volatilité (



) utilisée dans un calcul équivalent (qu’elle soit utilisée dans une simulation, des treillis ou des modèles à forme fermée, car ces trois approches nécessitent le mouvement brownien comme supposition fondamentale), un logarithme naturel est utilisé.

L’exponentiel d’un logarithme naturel se neutralise dans l’équation ci-dessus. Ensuite, pour calculer la moyenne géométrique, on a utilisé des rendements relatifs, puis on les a multipliés et mis à la racine carré du nombre de périodes. En prenant un logarithme naturel d’une racine (n), nous réduisons la racine (n) dans l’équation de moyenne géométrique. C’est pour cela que l’on utilise des logarithmes naturels à l’étape 3.

Étape 4 : Calculez l’écart type échantillon pour obtenir la volatilité périodique. Un écart type

échantillon est utilisé au lieu de l’écart type de la population parce que votre jeu de données peut

être de petite taille. Pour les jeux de données plus volumineux, l’écart type échantillon converge vers l’écart type de la population, il est donc toujours plus sûr d’utiliser l’écart type échantillon.

Bien sûr, l’écart type échantillon illustré ci-dessous est simplement la moyenne (somme de tous

les écarts divisée par n écarts) des écarts de chaque point d’un jeu de données par rapport à sa moyenne (



), avec un ajustement pour un degré de liberté dans les petits jeux de données, où un écart type plus élevé implique une largeur distributionnelle plus importante et implique donc un risque plus important. L’écart de chaque point autour de la moyenne est élevé au carré pour capturer ses distances absolues (sinon, pour une distribution symétrique, les écarts à gauche de la moyenne sont égaux aux écarts à droite de la moyenne, créant une somme de zéro), et on calcule la racine carrée de la totalité du résultat, pour ramener la valeur à son unité d’origine. Enfin, le dénominateur (n–1) s’ajuste pour un degré de liberté dans les échantillons de petite taille. À titre d’illustration, supposez qu’il y a trois personnes dans une pièce et que nous demandons à ces trois personnes de choisir un nombre au hasard, tant que la moyenne est de $100. La première personne et la deuxième personne peuvent choisir n’importe quelle valeur, Mais la troisième personne peut uniquement choisir une seule valeur de façon à ce que la moyenne soit exactement

égale à $100. Ainsi, dans une pièce avec 3 personnes (n), seules 2 personnes (n–1) sont véritablement libres de choisir. Donc pour les échantillons de petite taille, l’application de la correction n – 1 rend les calculs plus conservateurs. C’est pour cela que nous utilisons les écarts types échantillons à l’étape 4.

volatilité





i n







x i





Étape 5 : Calculez la volatilité annualisée. La volatilité utilisée dans l’analyse des options est annualisée pour plusieurs raisons. La première raison est que toutes les autres entrées sont des entrées annualisées (par ex. taux hors risque annualisé, dividendes annualisés et maturité en années). Deuxièmement, si un jeu de flux monétaires ou de prix d’action de $10 à $20 à $30 qui

100

200



1 .

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