Casio POLY 700AR1A Mode d'emploi
Vous trouverez ci-dessous de brèves informations pour Graph 80 Calculatrice Graphique. Ce guide vous familiarisera avec les lois de probabilités et les fonctions statistiques disponibles sur la calculatrice Graph 80. Il explique comment utiliser les menus Statistiques et Table pour calculer des probabilités binomiales, de Poisson et normales, facilitant ainsi la résolution de problèmes statistiques complexes.
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B Truchetet LPP ALBERT DE MUN Lois de probabilités Sur une Casio de Type Graph 80 Loi Binomiale B(n ;p) Une variable aléatoire X suit la loi binomiale B(n ;p) si l’expérience est répétée n fois de manière aléatoire et indépendante, il y a 2 issues possibles : succès avec une probabilité de réalisation de p, échec avec une probabilité de non réalisation q = 1-p. La loi binomiale permet de donner la probabilité P d’obtenir k fois le même résultat lorsque l’on répète n fois la même expérience. Propriétés : E(X) = n × p V(X) = n × p × (1 − p) P(X = k ) = C kn × p k × (1 − p) n − k σ(X) = n × p × (1 − p) Exemple 1 : Une cible est posée sur un mur , elle a trois secteurs : Le centre L’extérieur Le mur La probabilité d’atteindre : Le centre est de 0.1 L’extérieur est de 0.3 Le mur est de 0.6 a) En 10 lancers quelle est la probabilité d’atteindre 3 fois le centre ? b) En 10 lancers quelle est la probabilité d’atteindre 5 fois le mur ? c) En 10 lancers quelle est la probabilité d’atteindre au moins une fois l’extérieur ? Réponses : a) Soit X la VA représentant le nombre de fois ou l’on atteint le centre. Cette VA suit la loi binomiale B(10 ;0.1) en effet l’expérience est répété 10 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : atteindre le centre avec une probabilité de 0.1 , ne pas atteindre le centre avec une probabilité de 0.9. 3 P(X = 3) = C10 × 0.13 × (1 − 0.1) 7 ≈ 0.057 En 10 lancers la probabilité d’atteindre 3 fois le centre est de 0.057 Page 1 sur 20 B Truchetet b) LPP ALBERT DE MUN Soit X la VA représentant le nombre de fois ou l’on atteint le mur. Cette VA suit la loi binomiale B(10 ;0.6) en effet l’expérience est répété 10 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : atteindre le mur avec une probabilité de 0.6 , ne pas atteindre le mur avec une probabilité de 0.4. 5 P(X = 5) = C10 × 0.6 5 × (1 − 0.6) 5 ≈ 0.2 En 10 lancers la probabilité d’atteindre 5 fois le mur est de 0.2 c) Soit X la VA représentant le nombre de fois ou l’on atteint l’extérieur. Cette VA suit la loi binomiale B(10 ;0.3) en effet l’expérience est répété 10 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : atteindre l’extérieur avec une probabilité de 0.3 , ne pas atteindre l’extérieur avec une probabilité de 0.7. 0 P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − C10 × 0.30 × (1 − 0.3)10 ≈ 0.971 En 10 lancers la probabilité d’atteindre au moins une fois l’extérieure est de 0.971 Enter dans le menu Stat Entrer dans le sous-menu probabilités Entrer dans le menu des lois de de la loi Binomiale Page 2 sur 20 B Truchetet LPP ALBERT DE MUN 2 sous menus sont possibles Sous menu permet de calculer P(X= xi ) Cliquer sur en vu d’obtenir lorsque Data est surligné Application Supposons que X suive la loi Binomiale B(50 ; 0.1) Calculer P(X=2) Valeur de la variable souhaitée Nombre de répétitions Probabilité Cliquer sur P(X=2)= 0.077942 Page 3 sur 20 B Truchetet LPP ALBERT DE MUN Sous menu permet de calculer P(X ≤ xi ) Cliquer sur en vu d’obtenir lorsque Data est surligné Application Supposons que X suive la loi Binomiale B(50 ; 0.1) Calculer P(X ≤ 2) Valeur de maximale de la variable souhaitée Nombre de répétitions Probabilité Cliquer sur P(X ≤ 2)=0.11172 Page 4 sur 20 B Truchetet LPP ALBERT DE MUN Retour à l’exemple 1 : Une cible est posée sur un mur , elle a trois secteurs : Le centre L’extérieur Le mur La probabilité d’atteindre : Le centre est de 0.1 L’extérieur est de 0.3 Le mur est de 0.6 a) En 10 lancers quelle est la probabilité d’atteindre 3 fois le centre ? b) En 10 lancers quelle est la probabilité d’atteindre 5 fois le mur ? c) En 10 lancers quelle est la probabilité d’atteindre au moins une fois l’extérieur ? Réponses : 3 a) P(X = 3) = C10 × 0.13 × (1 − 0.1) 7 ≈ 0.057 5 b) P(X = 5) = C10 × 0.65 × (1 − 0.6) 5 ≈ 0.2 c) 0 × 0.30 × (1 − 0.3)10 ≈ 0.971 P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − C10 Il est aussi possible d’utiliser l’éditeur de fonction et le menu TABLE de la calculatrice Entrer dans le menu Table Page 5 sur 20 B Truchetet LPP ALBERT DE MUN Si des fonctions sont présentes les effacer à l’aide de la touche Application Supposons que X suive la loi Binomiale B(50 ; 0.1) Calculer P(X ≤ 6) Entrer dans Y1 la fonction suivante Pour obtenir cliquer sur la touche « OPTN » de la machine puis entrer dans le menu Proba de la machine puis sur la touche . Il faut alors entrer la liste des valeurs entières souhaitées. Entrer dans le menu . Entrer le minimum puis le maximum des valeurs entières souhaitées. Laisser Pitch : 1 Puis cliquer sur « EXE » Afficher le tableau de valeurs en cliquant sur Voici la liste des résultats Par exemple P(x=2)=0.0779 Page 6 sur 20 B Truchetet LPP ALBERT DE MUN Loi de Poisson P(m) ou P( λ ) La loi de Poisson peut être considéré comme une extension de la loi binomiale, si les 3 conditions suivantes sont vérifiées : n ≥ 30 p ≤ 0.1 n × p < 15 P(X = k ) = m ×e k! k Propriétés : E(X) = m = n × p V(X) = m = n × p −m rappel : m= n × p σ( X ) = m = n × p Exemple 2 : La probabilité pour qu’il y ai une faute d’impression dans une page est de 0.01.Dans un ouvrage de 500 pages , quelle est la probabilité pour qu’il y ai 10 fautes ? pour qu’il y ai plus de 2 fautes ? Réponses : X la VA représentant le nombre de fautes par page suit la loi de Poisson P(5), en effet l’expérience est répétée 500 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues possibles succès il y a une faute dans une page avec une probabilité de 0.01, échec il n’y a Page 7 sur 20 B Truchetet LPP ALBERT DE MUN pas de faute avec une probabilité de 0.99 de plus les 3 conditions pour passer à une loi de Poisson sont vérifiées : n ≥ 30 500 ≥ 30 p ≤ 0.1 en effet 0.01 ≤ 0.1 n × p < 15 5 < 15 510 × e −5 = 0.018 10! La probabilité d’avoir 10 fautes dans l’ouvrage de 500 pages est de 0.018 • P(X = 10) = • P(X > 2) = 1 − [P( x = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)] après calcul nous trouvons P(X>2)=0.8754 Enter dans le menu Stat Entrer dans le sous-menu de probabilités des lois Page 8 sur 20 B Truchetet LPP ALBERT DE MUN Puis cliquer une fois sur Puis entrer dans le menu de Poisson. de la loi 2 sous menus sont possibles Sous menu permet de calculer P(X= xi ) Cliquer sur surligné en vu d’obtenir lorsque Data est Page 9 sur 20 B Truchetet LPP ALBERT DE MUN Application Supposons que X suive la loi de Poisson P(5) Calculer P(X=2) Valeur de la variable souhaitée Valeur de λ Cliquer sur P(X=2)= 0.084224 Sous menu permet de calculer P(X ≤ xi ) Cliquer sur surligné en vu d’obtenir lorsque Data est Page 10 sur 20 B Truchetet LPP ALBERT DE MUN Application Supposons que X suive la loi de Poisson P(5) Calculer P(X ≤ 2) Valeur de la variable souhaitée Valeur de λ Cliquer sur P(X ≤ 2)=0.12465 Retour à l’exemple 2 : La probabilité pour qu’il y ai une faute d’impression dans une page est de 0.01.Dans un ouvrage de 500 pages , quelle est la probabilité pour qu’il y ai 10 fautes ? pour qu’il y ai plus de 2 fautes ? Réponse 1 P(X = 10) = 510 × e −5 = 0.018 10! La probabilité d’avoir 10 fautes dans l’ouvrage de 500 pages est de 0.018 Réponse 2 P(X > 2) = 1 − [P( x = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)] la probabilité pour qu’il y ai plus de 2 fautes est 0.88 Il est aussi possible d’utiliser l’éditeur de fonction et le menu TABLE de la calculatrice Page 11 sur 20 B Truchetet LPP ALBERT DE MUN Entrer dans le menu Table Si des fonctions sont présentes les effacer à l’aide de la touche Application Supposons que X suive la loi Poisson P(5) Calculer P(X ≤ 6) Entrer dans Y1 la fonction suivante Pour obtenir cliquer sur la touche « OPTN » de la machine puis entrer dans le menu Proba de la machine puis sur la touche. Il faut alors entrer la liste des valeurs entières souhaitées. Entrer dans le menu . Entrer le minimum puis le maximum des valeurs entières souhaitées. Laisser Pitch : 1 Puis cliquer sur « EXE » Afficher le tableau de valeurs en cliquant sur Page 12 sur 20 B Truchetet LPP ALBERT DE MUN Voici la liste des résultats Par exemple P(x=3)=0.1403 La loi Normale N (m;σ ) La loi Normale est l’un des exemples les plus important de la loi de probabilité continue car de nombreux phénomènes ont des caractères qui se distribuent suivant la loi Normale. La loi Normale se note son espérance mathématique est E(X)=m son écart type est σ(X) = σ b P[a ≤ X ≤ b] = ∫ f ( x )dx est l’aire de la courbe représentative de la fonction f a comprise entre les valeurs a et b. Page 13 sur 20 B Truchetet LPP ALBERT DE MUN Exemple 3 : Lors d’un examen passé par 100 étudiants, les notes sont réparties normalement. La moyenne est de 12 et l’écart type est de 2.Calculer la probabilité pour qu’un étudiant obtienne une note comprise entre 7 et 12. Réponse : X VA représentant la note de l’étudiant suit la loi Normale N(12 ;2) Calculons P[7 ≤ X ≤ 12] . Nous devons avant tout nous ramener à la loi Normale centré réduite N(0 ;1) En posant T = X − M soit T = X − 12 σ 2 P[7 ≤ X ≤ 12] = P[ 7 − 12 ≤ X ≤ 12 − 12 ] = P[−2.5 ≤ T ≤ 0] =0.5-0.0062=0.49379 2 2 la probabilité pour qu’un étudiant obtienne une note comprise entre 7 et 12 est de 0.4937 Enter dans le menu Stat Entrer dans le sous-menu probabilités des lois de Page 14 sur 20 B Truchetet Entrer dans le menu LPP ALBERT DE MUN de la loi normale 3 sous menus sont possibles Sous menu permet de calculer P( X 1 ≤ X ≤ X 2 ) X1 X2 σ m Application X suit la loi normale N(5 ;2) Calculer P( 3 ≤ X ≤ 7 ) Cliquer sur P( 3 ≤ X ≤ 7 )=0.68268 Page 15 sur 20 B Truchetet LPP ALBERT DE MUN Sous menu permet de calculer a tel que P( X 1 ≤ a ) =aire Aire (Area ) σ m Application X suit la loi normale N(5 ;2) Calculer a tel que P( X ≤ a )=0.05 Cliquer sur a = 1.7102 pour que que P( X ≤ a )=0.05 Retour à l’exemple 3 : Lors d’un examen passé par 100 étudiants, les notes sont réparties normalement. La moyenne est de 12 et l’écart type est de 2.Calculer la probabilité pour qu’un étudiant obtienne une note comprise entre 7 et 12. Réponse : P[7 ≤ X ≤ 12] = P[ 7 − 12 ≤ X ≤ 12 − 12 ] = P[−2.5 ≤ T ≤ 0] 2 2 =0.5-0.0062=0.49379 Page 16 sur 20 B Truchetet LPP ALBERT DE MUN Il est aussi possible d’utiliser le sous menu PROBA de menu RUN pour calculer des probabilités dans le cas d’une loi normale centrée réduite N (0;1) Enter dans le menu Run Cliquer sur la touche « OPTN » de la machine Puis 1 fois sur la touche Entrer dans le sous menu Page 17 sur 20 B Truchetet LPP ALBERT DE MUN Cliquer à nouveau sur Nous sommes arrivé dans le Menu loi Normale de notre Casio 4 sous menus sont possibles Le sous menu Permet de calculer dans le cas ou la variable aléatoire suit une loi N(0 ;1) la probabilité P( X ≤ X 1 ) ainsi que P( X 1 ≤ X ≤ X 2 ) Page 18 sur 20 B Truchetet LPP ALBERT DE MUN Application • Calculons P( X ≤ 1 ) Il suffit juste de taper P( X ≤ 1 )=0.84134 • Calculons P( 0.5 ≤ X ≤ 1 ) Il suffit juste de taper Attention il ne faut pas oublier de fermer les parenthèses sous peine d’avoir un résultat faux. P( 0.5 ≤ X ≤ 1 )=0.14988 Le sous menu Permet de calculer dans le cas ou la variable aléatoire suit une loi N(0 ;1) la probabilité P( 0 ≤ X ≤ X 1 ) ainsi que P( X 1 ≤ X ≤ 0 ) Page 19 sur 20 B Truchetet LPP ALBERT DE MUN Application • Calculons P( 0 ≤ X ≤ 0.71 ) Il suffit juste de taper P( 0 ≤ X ≤ 0.71 )= • Calculons P( −0.6 ≤ X ≤ 0 ) Il suffit juste de taper P( −0.6 ≤ X ≤ 0 )=0.22575 Le sous menu Permet de calculer dans le cas ou la variable aléatoire suit une loi N(0 ;1) la probabilité P( X ≥ X 1 ) Application • Calculons P( X ≥ 1.41 ) Il suffit juste de taper P( X ≥ 1.41 )= 0.13567 Page 20 sur 20 ">

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Caractéristiques clés
- Calcul des probabilités binomiales
- Calcul des probabilités de Poisson
- Calcul des probabilités normales
- Utilisation du menu Statistiques pour les calculs de probabilité
- Création de tableaux de valeurs pour les lois de probabilité
Questions fréquemment posées
Entrez dans le menu Stat, puis dans le sous-menu des probabilités et enfin dans le menu des lois binomiales. Sélectionnez le sous-menu pour calculer P(X=xi).
Entrez dans le menu Stat, puis dans le sous-menu des probabilités et enfin dans le menu des lois de Poisson. Sélectionnez le sous-menu pour calculer P(X ≤ xi).
Entrez dans le menu Stat, puis dans le sous-menu des probabilités et enfin dans le menu de la loi normale. Sélectionnez le sous-menu approprié et entrez les valeurs de X1, X2, σ et m.