La commande électronique des machines En 65 fiches-outils Michel Pinard Maquette intérieure : Belle Page © Dunod, Paris, 2013 ISBN 978-2-10-058481-9 Sommaire Les cahiers techniques, mode d’emploi............................. 6 Dossier 1 Le flux magné­­tique dans les machines............... 8 Fiche 1 Fiche 2 Fiche 3 Fiche 4 Fiche 5 Fiche 6 Fiche 7 Magné­­tisme : sys­­tème à un seul bobi­­nage......... 12 Magné­­tisme : sys­­tème à deux bobi­­nages........... 18 Sources à cou­­rant continu. .............................. 22 Sources à cou­­rant alter­­na­­tif mono­­phasé........... 24 Source à cou­­rant alter­­na­­tif tri­­phasé. ................ 27 Théo­­rème de Ferraris. Trans­­for­­ma­­tions............. 31 Trans­­for­­ma­­tion de Park.................................... 38 Dossier 2 Conver­­tis­­seurs de Puis­­sance.............................. 44 © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. Fiche 8 Les hacheurs (Choppers).................................... 48 Fiche 9 Le hacheur en uti­­li­­sation pra­­tique. ................... 51 Fiche 10 Les redresseurs à diodes (Rectifiers)................... 57 Fiche 11 Redres­­seur à thy­­ris­­tors (Thyristor-­based rec­­ti­­fier bridge)............................. 60 Fiche 12 Les Onduleurs mono­­pha­­sés (Single phase inverters)......................................... 67 Fiche 13 Les Gradateurs mono­­pha­­sés (The power dimmers)........................................... 74 Fiche 14 Les Onduleurs auto­­nomes tri­­pha­­sés (The three phase inverters).................................... 78 Fiche 15 L’Onduleur tri­­phasé à modulation de largeur d’impulsion vec­­to­­rielle (The SVPWM inverter)..... 84 Fiche 16 L’onduleur assisté (The load-­controlled inverter)..... 90 Dossier 3 Uti­­li­­sation du moteur à cou­­rant continu........ 93 Fiche 17 Le moteur à cou­­rant continu en régime sta­­tion­­naire (DC motor)..................... 96 Fiche 18 Le moteur à cou­­rant continu : ali­­men­­ta­­tion par hacheur....................................................105 Fiche 19 Le moteur à cou­­rant continu : régime dyna­­mique...........................................110 Fiche 20 Le moteur à cou­­rant continu : étude de cas.....118 Fiche 21 Le moteur à cou­­rant continu : modèle d’état...123 Fiche 22 Moteur à cou­­rant continu. Uti­­li­­sation en robo­­tique..................................131 Fiche 23 Commande d’un moteur à cou­­rant continu : frei­­nage..........................................................139 3 Sommaire Dossier 4 Uti­­li­­sation du moteur à cou­­rant alter­­na­­tif....145 Fiche 24 Moteur série uni­­ver­­sel.....................................148 Fiche 25 Moteur asyn­­chrone mono­­phasé et moteur diphasé...........................................154 Fiche 26 Machine syn­­chrone à pôles lisses en régime sta­­tion­­naire linéaire.........................159 Fiche 27 Machine syn­­chrone à pôles saillants en régime sta­­tion­­naire linéaire.........................165 Fiche 28 Machine syn­­chrone en régime sta­­tion­­naire non-­linéaire....................................................169 Fiche 29 Machine syn­­chrone en régime dyna­­mique........175 Fiche 30 Machine syn­­chrone : uti­­li­­sation de la Trans­­for­­mée de Park...............................183 Fiche 31 Machine asyn­­chrone en régime sta­­tion­­naire : modé­­li­­sa­­tion...................................................192 Fiche 31 (suite) Machine asyn­­chrone en régime sta­­tion­­naire : Couple. Essais expé­­ri­­men­­taux.....198 Fiche 32 Moteur asyn­­chrone en régime dyna­­mique........206 Fiche 33 Déter­­mi­­na­­tion expé­­ri­­men­­tale des élé­­ments du modèle de la machine asyn­­chrone..............216 Dossier 5 Contrôle asser­­visse­­ment commande..............223 Fiche 34 Contrôle en vitesse d’un moteur......................226 Fiche 35 Commande en couple d’un moteur élec­­trique..... 232 Fiche 36 Les Cap­­teurs...................................................238 Fiche 37 Méthodes de Strejc, Broïda et Ziegler-­Nichols............................................246 Fiche 38 Sys­­tèmes bou­­clés ana­­lo­­giques.........................250 Fiche 39 Les avan­­tages de la commande numé­­rique......255 Fiche 40 Cor­­rec­­tion des sys­­tèmes ana­­lo­­giques et numé­­riques.................................................263 Fiche 41 Simu­­la­­tion d’une régu­­la­­tion de vitesse à moteur à cou­­rant continu............................273 Dossier 6 Machine syn­­chrone : commande......................283 Fiche 42 Cou­­plage d’une machine syn­­chrone sur le réseau....................................................287 Fiche 43 Cou­­plage d’un moteur syn­­chrone sur le réseau....................................................299 Fiche 44 Auto­pilotage d’un moteur syn­­chrone...............306 Fiche 45 Pilo­­tage d’une machine syn­­chrone par DSP ou FPGA...........................................316 Fiche 46 Moteurs à réluctance variable. ........................324 Fiche 47 Moteurs pas à pas..........................................332 4 Sommaire Dossier 7 Machine asyn­­chrone : commande....................333 Fiche 48 Cou­­plage sur le réseau d’une machine asyn­­chrone.....................................................336 Fiche 49 Commande en vitesse du moteur asyn­­chrone. .... 341 Fiche 50 Commande en boucle ouverte du moteur asyn­­chrone.....................................................348 Fiche 51 Auto­pilotage sca­­laire du moteur asyn­­chrone....356 Fiche 52 Contrôle vec­­to­­riel du moteur asyn­­chrone.........359 Fiche 53 Commande à flux orienté du moteur asyn­­chrone.....................................................369 Fiche 54 Pilo­­tage par pro­­ces­­seur : commande directe du couple par DSP ou FPGA...........................377 Dossier 8 Le moteur élec­­trique en milieu indus­­triel.......381 Fiche 55 Les sys­­tèmes indus­­triels...................................385 Fiche 56 Le moteur élec­­trique dans l’envi­­ron­­ne­­ment indus­­triel........................................................390 Fiche 57 Utilisation d’un moteur à cou­­rant continu.......391 Fiche 58 Uti­­li­­sation d’un moteur syn­­chrone auto­piloté.......................................................392 Fiche 59 Le moteur asyn­­chrone dans les sys­­tèmes indus­­triels.......................................................399 Fiche 60 Commandes d’axes.........................................405 Fiche 61 Choix entre les divers moteurs et leur commande...........................................413 Annexes . .....................................................................414 Index . .....................................................................415 5 Les cahiers techniques, mode d’emploi Les fiches sont classées par dossier Une introduction reprenant les grandes thématiques du dossier 6 Un menu déroulant des fiches du dossier FICHE LaLes commande cahiers techniques, électronique mode desd’emploi machines Une signalétique claire Une partie Savoirfaire qui détaille la mise en œuvre Mise en avant de l’objectif de la fiche Une partie Repères pour définir les bases Des compléments d’information pour aller plus loin Des schémas clairs et complets Une partie En pratique pour une application terrain 7 DOSSIER 1 Le flux magné­­tique dans les machines Cas géné­­ral Comment obtient-­on un couple moteur dans un conver­­tis­­seur (ou machine) élec­­tro­­mé­­ca­­nique ? D’une manière géné­­rale, toute machine (moteur ou géné­­ra­­trice) asso­­ciée à une charge méca­­nique peut être consi­­dé­­rée comme un sys­­tème où les gran­­ deurs phy­­siques d’entrée sont : ❯❯ un « vec­­teur ten­­sion » [V] compor­­tant une ou plu­­sieurs compo­­santes, ❯❯ le couple résis­­tant de la charge, noté Tr, en N. m. La gran­­deur interne essen­­tielle est le « vec­­teur » flux magné­­tique [Φ]. Les gran­­deurs phy­­siques de sor­­tie sont : ❯❯ un « vec­­teur cou­­rant » [I] compor­­tant une ou plu­­sieurs compo­­santes, ❯❯ la vitesse angu­­laire de la machine Ω, en rad/s. ❯❯ la posi­­tion angu­­laire de la machine θ du rotor, en rad. Vecteur Tension [V] Vecteur Courant [I] Vecteur Flux magnétique Couple charge Tr [Φ] Ω Vitesse angulaire Position angulaire θ Figure 1.1 Prin­­cipe de la conver­­sion élec­­tro­­mé­­ca­­nique En uti­­li­­sant le logi­­ciel VisSim La démarche des concep­­teurs de ce logi­­ciel est simi­­laire à ce qui est pré­­senté ci-­dessus : Les gran­­deurs phy­­siques d’entrée sont alors (cf. figure 1.2) : ❯❯ un « vec­­teur ten­­sion » [V] compor­­tant deux compo­­santes, l’une posi­­tive, l’autre néga­­tive, ❯❯ le couple résis­­tant de la charge (Load Re­action Torque Vector). Les gran­­deurs phy­­siques de sor­­tie sont (cf. figure 1.2) : ❯❯ le dépla­­ce­­ment angu­­laire θ (Rotor Dis­place­­ment) exprimé en rad, 8 Motor + (volts) Motor − (volts) Load Reaction Torque Vector Rotor Displacement (rad) Basic DC Motor Rotor Angular Velocity (rad/sec) (Permanent Magnet) Motor Current (amps) Figure 1.2 Logi­­ciel VisSim : cas du moteur à cou­­rant continu à aimant per­­manent Équation des flux Les divers flux d’une machine 1 DOSSIER dθ (Rotor Angular Velocity) exprimé en rad/sec, dt ❯❯ l’inten­­sité du cou­­rant d’induit (Rotor Dis­place­­ment) exprimé en A. ❯❯ la vitesse angu­­laire Ω= D’une manière géné­­rale, les n bobi­­nages d’une machine sont en cou­­plage magné­­tique mutuel et on consi­­dère le flux « élé­­men­­taire » d’une spire ϕcp du bobi­­nage (ou enrou­­le­­ment) c pour la spire p. On a Mcp n Mcpp ¦ Mcdp avec d ≠ c où ϕccp est le flux propre (ou d’auto-­induction) d 1 et ϕcdp est le flux (de mutuelle induc­­tion) créé à tra­­vers la spire p par les (n-1) autres cir­­cuits. Consi­­dé­­rons le flux total pour l’enrou­­le­­ment c compor­­tant Nc spires : Nc ¦M )c p 1 Nc cpp n ¦ ¦ Mcdp avec d ≠ c. p 1 d 1 Nc Le pre­­mier terme ) cd Nc ¦M p 1 cdp ¦M p 1 cpp est égal au flux total propre Φcc et le deuxième terme est le flux du cou­­plage mutuel des cir­­cuits c et d. Le flux total propre Φcc se décom­­pose en deux termes : ❯❯ le flux total de fuites Φfc qui cor­­res­­pond à la somme des flux des lignes de champ pas­­sant dans les spires de l’enrou­­le­­ment c et ne tra­­ver­­sant aucune spire des n-1 autres cir­­cuits ; ❯❯ le flux total de magné­­ti­­sation Φmc qui cor­­res­­pond à la somme des flux des lignes de champ pas­­sant les spires de l’enrou­­le­­ment c et tra­­ver­­sant au moins une spire des n-1 autres cir­­cuits. Alors Φcc = Φfc + Φmc. Matrice inductance On désigne sous les termes sui­­vants les inductances : Φ ❯❯ de magné­­ti­­sation Lmc = mc ; ic Φ cf l = ; ❯❯ de fuites f ic 9 DOSSIER 1 ❯❯ propre Lc = Φ cc = Lmc + l f ; ic ❯❯ mutuelle Mcd = Φ cd . id Φ Les inductances mutuelles sont symé­­triques : donc Mcd = Mdc = dc . ic Mise sous forme matricielle : Φ1 L1 M12 Φ M 2 21 L2 = Φ c Mc 1 Mc 2 Φ n Mn1 Mn2 M1c M2c Lc M1n M2n Ln i1 i 2 ic in Coefficients de cou­­plage et de dis­­per­­sion entre deux bobi­­nages c et d : Consi­­dé­­rons l’expres­­sion : K cd = Mcd Φ cd Φ dc = Φ dd Φ cc Lc Ld Par défi­­ni­­tion, Kcd est le coef­­fi­­cient de cou­­plage entre les cir­­cuits c et d (0 < Kcd < 1). ❯❯ Si Kcd = 1, le cou­­plage est par­­fait ; ❯❯ si Kcd = 0, le cou­­plage est nul, par exemple, pour deux bobi­­nages dont les axes sont en qua­­dra­­ture (sauf cas par­­ti­­cu­­liers). On appelle coef­­fi­­cient de dis­­per­­sion de Blon­­del la quan­­tité : σ cd =1 − 10 Mcd2 =1 − K cd2 Lc Ld DOSSIER 1 LES FICHES Fiche 1 : Magné­­tisme : sys­­tème à un seul bobi­­nage . ...... 12 Fiche 2 : Magné­­tisme : sys­­tème à deux bobi­­nages .......... 18 Fiche 3 : Sources à cou­­rant continu . ............................. 22 Fiche 4 : Sources à cou­­rant alter­­na­­tif mono­­phasé ......... 24 Fiche 5 : Source à cou­­rant alter­­na­­tif tri­­phasé ................ 27 Fiche 6 : Théo­­rème de Ferraris. Trans­­for­­ma­­tions ........... 31 Fiche 7 : Trans­­for­­ma­­tion de Park . ................................. 38 11 Fiche 1 Magné­­tisme : sys­­tème à un seul bobi­­nage Objec­­tifs ✓✓ La formulation du couple d’un moteur élé­­men­­taire peut être obtenue à par­­tir de l’éner­­gie emma­­ga­­si­­née ou de la co­énergie. ✓✓ Intro­­duc­­tion de la notion d’inductance variable en fonc­­tion de la posi­­tion θ du rotor. ✓✓ Expres­­sion de l’équa­­tion méca­­nique et de l’équa­­tion élec­­trique d’un moteur élé­­ men­­taire à un seul bobi­­nage. Repères Bil­an des éner­­gies mises en jeu On consi­­dère un sys­­tème élec­­tro­­mé­­ca­­nique élé­­men­­taire qui ne comporte qu’un seul bobi­­nage. Son étude per­­met l’éta­­blis­­se­­ment d’une rela­­tion simple pour expri­­mer le couple. Les éner­­gies mises en jeu sont les sui­­vantes : ff Wfe = éner­­gie four­­nie par la source ; ff Wpe = éner­­gie per­­due en pertes élec­­triques ; ff ∆Ws = éner­­gie emma­­ga­­si­­née dans le conver­­tis­­seur ; ff Wm = éner­­gie méca­­nique ; ff Wpm = éner­­gie per­­due sous forme méca­­nique ; ff ∆Wsm = éner­­gie ciné­­tique ; ff Wum = éner­­gie uti­­li­­sable. Ce qui donne en bilan de l’éner­­gie méca­­nique : Wm = Wpm + Wum + ∆Wsm Par la suite, on se place dans le cas par­­ti­­cu­­lier où le conver­­tis­­seur est conservatif : il y a conser­­va­­tion de la puis­­sance méca­­nique. Il n’y a donc ni pertes, ni accu­­mu­­la­­tion d’éner­­gie méca­­nique. Dési­­gnons alors par W e = W fe – W pe l’éner­­gie élec­­trique appli­­quée au sys­­tème. Alors on abou­­tit à la rela­­tion fon­­da­­ men­­tale : We = ∆Ws + Wm 12 Magné­­tisme : sys­­tème à un seul bobi­­nage FICHE 1 ou, sous forme dif­­fé­­ren­­tielle (uti­­li­­sée par la suite) : dWe = dWs + dWm S a v o i r - ­F a i r e Énergie magnétique emma­­ga­­si­­née et co­énergie Le flux d’un sys­­tème à un seul bobi­­nage compor­­tant N spires par­­couru par un cou­­rant i est donné par la carac­­té­­ris­­tique de magné­­tisme de la figure 1.1. On désigne par force magnéto-­motrice la quan­­tité ε = N i. Flux magnétique © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. D Energie A Coénergie P O Ni Figure 1.1 Carac­­té­­ris­­tique du flux L’éner­­gie emma­­ga­­si­­née (ou sto­­ckée) Ws cor­­res­­pond à l’aire du tri­­angle cur­­vi­­ ligne OAD. Par défi­­ni­­tion, la co­énergie Wco cor­­res­­pond à l’aire du tri­­angle cur­­vi­­ligne OAP. Ainsi, on obtient la rela­­tion : DOSSIER 1 : Le flux magné­­tique dans les machines avec : ff dWe : éner­­gie élec­­trique appli­­quée ; ff dWs : éner­­gie emma­­ga­­si­­née ; ff dWm : éner­­gie méca­­nique engen­­drée. Ws + Wco = i Φ = ε ϕ 13 FICHE 1 Magné­­tisme : sys­­tème à un seul bobi­­nage Ce qui per­­met d’écrire pour la co­énergie : i Wco ³) di 0 H ³M dH 0 L’éner­­gie emma­­ga­­si­­née et la co­énergie sont des fonc­­tions d’état (au sens ther­­ mo­­dy­­na­­mique du terme) du sys­­tème conservatif. Expression du couple D’une manière géné­­rale, pour un sys­­tème à un seul bobi­­nage, l’é­nergie dépend du cou­­rant, du flux et de la posi­­tion angu­­laire θ. Il est pos­­sible d’écrire que Ws = f(Φ, θ) avec : dWs = ∂ Ws ∂ Ws dΦ + dθ = i d Φ − Te dθ ∂Φ ∂θ Pour la co­énergie, il est pos­­sible d’écrire que Wc0 = g( i, θ) avec : dWco = ∂ Wco ∂ Wco di + dθ = Φ di + Te dθ ∂ i ∂θ Comme Ws + Wco = i Φ on obtient dWs + dWco = i dΦ + Φ di Cas où il y a linéa­­rité entre le flux et le cou­­rant : le cir­­cuit magné­­tique est non saturé et de per­­méa­­bi­­lité constante. On obtient alors : Φ = L i et Ws = Wco = ½ L i². D’où la rela­­tion don­­nant le couple : 1 dL Te = i 2 2 dθ Un sys­­tème à seul bobi­­nage ne per­­met pas d’obte­­nir une valeur moyenne non nulle du couple. En effet, l’inductance L(θ) est néces­­sai­­re­­ment une fonc­­tion pério­­dique de l’angle θ. On uti­­lise fré­­quem­­ment l’approxi­­ma­­tion sui­­vante : L (θ ) = L0 + L∅ cos ( pθ ) où L0 et L∆ sont des constantes (L0 > L∆), et p dépend de la géo­­mé­­trie du rotor. Par exemple, p = 2 si, pour une rota­­tion mini­­male de π, la confi­­gu­­ra­­tion magné­­tique de la machine est la même. § p· ¨ ¸ L' i sin pT . Si le rotor de la ©2¹ machine tourne, alors θ = Ω t. La valeur moyenne du couple pour une période de rota­­tion est nulle. Ici, l’expres­­sion du couple est Te T 14 Magné­­tisme : sys­­tème à un seul bobi­­nage FICHE 1 Équation dyna­­mique d’un sys­­tème linéaire à un seul bobi­­nage Le moment du couple agit géné­­ra­­le­­ment sur un sys­­tème du deuxième ordre du type (les nota­­tions des déri­­vées sont celles qui sont uti­­li­­sées en méca­­ x xx dT d 2T et T ) : nique : T dt dt 2 xx E Ri d >L(T )@ x d di T (équa­­tion élec­­trique) >L(T ) u i @ R i L(T ) i dt dt dT 1 2 d [L(θ )] i dθ 2 Ce qui per­­met de connaître l’inter­­ac­­tion entre l’équa­­tion méca­­nique et l’équa­­tion élec­­trique. Le couple du sys­­tème est : Te = © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. E n p r a ­­t i q u e Étude d’un cir­­cuit magné­­tique en satu­­ra­­tion à l’aide du logi­­ciel PSIM Pré­­sen­­ta­­tion Il est pos­­sible de tester expé­­ri­­men­­ta­­lement ou en simu­­la­­tion le compor­­te­­ment d’un cir­­cuit magné­­tique sou­­mis à une ten­­sion sinu­­soï­­dale, par exemple celui d’une machine tour­­nante, qui comporte alors néces­­sai­­re­­ment un entre­­fer. Un exemple de cir­­cuit magné­­tique est pré­­senté à la figure 1.2a. Il s’agit d’un cir­­cuit satu­­rable sou­­mis à une ten­­sion effi­­cace de 230 V, à la fré­­quence 50 Hz. Cette ten­­sion est appli­­quée avec une phase nulle à t = 0. DOSSIER 1 : Le flux magné­­tique dans les machines x Te C (T T0 ) f T J T T0 (équa­­tion méca­­nique) Te est le couple élec­­tro­­ma­­gné­­tique. C est le coef­­fi­­cient d’élas­­ti­­cité. f est le coef­­fi­­cient de frot­­te­­ment vis­­queux. J est le moment d’iner­­tie. T0 est le couple de frot­­te­­ment sec. D’autre part, en régime linéaire : 15 FICHE 1 Magné­­tisme : sys­­tème à un seul bobi­­nage Circuit magnétique en saturation Entrefer 0... 50 ms C/p � 100 R1 V Vin � 100 5mH � Fuites magnétiques 1n 10 230*1.414 V ϕ=0 Vflux 50 Hz V Circuit saturable V Fmm Figure 1.2a Cir­­cuit magné­­tique à un seul bobi­­nage en satu­­ra­­tion La bobine comporte 100 spires. On a simulé (cf. la figure 1.2b) des fuites magné­­tiques et un entre­­fer. Aux bornes du cir­­cuit satu­­rable, on mesure la force magné­­to­­mo­­trice ε en A.t et le flux en Wb. La résis­­tance R1 égale à 100 ohms sert à limi­­ter le cou­­rant fourni par la source de ten­­sion. Simu­­la­­tion Les résul­­tats sont présentés à la figure ci-­dessous. 16 FICHE 1 Magné­­tisme : sys­­tème à un seul bobi­­nage 0.0008 0.0004 0 -0.0004 -0.0008 400 200 0 -200 -400 4 2 0 -2 -4 Vin 213,5 V Vflux 0,000755 Wb Fmm 313,5 A.t I(R1) 3,2 A 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Time (s) Figure 1.2b Courbes obte­­nues On constate que la satu­­ra­­tion du flux à 0,000755 Wb (0,755 mWb) pro­­voque une baisse de la ten­­sion d’entrée Vin et une aug­­ men­­ta­­tion bru­­tale de la force magné­­to­­mo­­ trice, qui cor­­res­­pond à un cou­­rant I(R1) maximal de quelques ampères (3,2 A), autant dans la résis­­tance que dans le bobi­­nage. Conseils Le cir­­cuit magné­­tique consi­­déré ici est formé de tôles de fer. Il est pos­­sible d’envi­­sa­­ger un cir­­cuit magné­­tique consti­­tué de fer­­rite, qui aurait des pro­­prié­­tés compa­­rables, bien que le flux magné­­tique obtenu par spire soit plus faible. Des expé­­riences sur le cir­­cuit magné­­tique à un seul bobi­­nage peuvent être menées sur le bobi­­nage induc­­teur d’une machine à cou­­rant continu ou d’un alter­­nateur. DOSSIER 1 : Le flux magné­­tique dans les machines 100 50 0 -50 -100 17 Fiche 2 Magné­­tisme : sys­­tème à deux bobi­­nages Objec­­tifs ✓✓ Intro­­duc­­tion de la co­énergie avec un cir­­cuit magné­­tique compor­­tant deux bobi­­nages afin d’intro­­duire le couple moteur. ✓✓ Appli­­ca­­tion de cette méthode dans le cas simple d’un moteur élé­­men­­taire à réluctance variable à deux bobi­­nages. ✓✓ Expres­­sion de l’équa­­tion méca­­nique et de l’équa­­tion élec­­trique d’un moteur élé­­ men­­taire à un seul bobi­­nage. Repères Bilan des éner­­gies mises en jeu Pour obte­­nir un couple de valeur moyenne non nulle pour une période de rota­­tion, il faut dis­­po­­ser au moins de deux bobi­­nages dans la machine. On uti­­lise encore la rela­­tion dWe = dWs + dWm. Ce qui donne : dWe = ( e1 i1 + e2 i2 ) dt = dΦ1 dΦ 2 i1 dt + i2 dt = i1 dΦ1 + i2 dΦ2 dt dt d’où dWe = i1 dΦ1 + i2 dΦ2 = dWs + dWm Si dWm = 0, alors l’éner­­gie emma­­ga­­si­­née est Ws ³³ i1 d)1 i2 d) 2 ) 1,) 2 ³³ ) Et pour la co­énergie Wc 0 1 di1 ) 2 di2 car Ws + Wco = i1 Φ1 + i2 Φ2 i1, i 2 Il est pos­­sible de géné­­ra­­li­­ser pour le cas d’une machine compor­­tant n bobi­­ nages : ) 1,....) n n Ws ³ 0 ¦ ik d) k et Wco k 1 i1,...in n ³ ¦) 0 k dik . k 1 S a v o i r - ­F a i r e Expressions du couple On a avec deux bobi­­nages : Ws = f( Φ1, Φ2, θ ) pour l’éner­­gie emma­­ga­­si­­née. 18 Magné­­tisme : sys­­tème à deux bobi­­nages On iden­­ti­­fie les déri­­vées par­­tielles : dWs = FICHE 2 ∂ Ws ∂ Ws ∂ Ws dΦ1 + dΦ 2 + dθ ∂ Φ1 ∂ Φ2 ∂θ ∂ Ws (Φ1 ,Φ 2 ,θ ) ∂ Ws (Φ1 ,Φ 2 ,θ ) ; i1 = + et ∂ Φ1 ∂θ ∂ Ws (Φ1 ,Φ 2 ,θ ) i2 = + ∂ Φ2 On obtient Te = − Pour la co­énergie Wco= g( i1, i2, θ ). En pro­­cé­­dant comme ci-­dessus, on obtient : Te = + ∂ Wco ( i1 , i2 ,θ ) ∂ Wco ( i1 , i2 ,θ ) ∂ Wco ( i1 , i2 ,θ ) , Φ1 = + et Φ 2 = + ∂ i2 ∂θ ∂ i1 Te = − ∂ Ws ( Φ1, Φ2 , Φ n , θ ) ∂ Wco ( i1, i2 , in , θ ) =+ ∂θ ∂θ Cas des sys­­tèmes linéaires Les cal­­culs sont plus simples en uti­­li­­sant la co­énergie : dWco = Φ1 di1+ Φ2 di2 En intro­­dui­­sant les inductances propres et l’inductance mutuelle : dWco = (L1 i1 + M i2 ) di1+ (L2 i2 + M i1 ) di2 on obtient : dWco = L1 i1 di1+ M ( i2 di1+ i1 di2 ) + L2 i2 di2 soit : Wco = ½ L1 i1² + M i1 i2 + ½ L2 i2 ² ce qui donne sous forme matricielle : 1 2 © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. [Wco ] = [i1 L1 M i1 1 i2 ] = [ i ]t [L ] [ i ] M L2 i2 2 D’où la for­­mule du couple : Te = ∂ [Wco ] 1 ∂ [L ] = [ i ]t [i ] 2 ∂θ ∂θ Équation dyna­­mique d’un sys­­tème linéaire à deux bobi­­nages En régime linéaire : Φ1 = L1(θ) i1 + M(θ) i2 Φ2 = L2(θ) i2 + M(θ) i1 1 dL dM 2 dL2 Te = i12 1 + 2 i1 i2 + i2 2 dθ dθ dθ DOSSIER 1 : Le flux magné­­tique dans les machines Géné­­ra­­li­­sa­­tion au cas d’une machine compor­­tant n bobi­­nages : 19 FICHE 2 Magné­­tisme : sys­­tème à deux bobi­­nages t tt Te C (R R0 ) f R J R T0 (équa­­tion méca­­nique) Les équa­­tions élec­­triques peuvent se mettre sous la forme : ª E1 º «E » ¬ 2¼ ªR1 0 º ª i1 º ª L1 M º d ª i1 º x ­° d « 0 R » «i » « M L » dt «i » T ® dT °̄ 2¼¬ 2¼ 2¼ ¬ ¬ ¬ 2¼ ª L1 M º ½° ª i1 º « M L » ¾ «i » 2 ¼° ¬ ¿ ¬ 2¼ Ce qui cor­­res­­pond aux équa­­tions matricielles sui­­vantes : >E @ >R @>i @ ª¬L T º¼ et Te = ^ > @` ^ ` x d d i T ªL T º¼ > i @ dt dT ¬ ∂ [Wco ] 1 ∂ [L ] = [ i ]t [i ] ∂θ 2 ∂θ E n p r a ­­t i q u e Étude théo­­rique d’un moteur à deux bobi­­nages On consi­­dère le moteur à réluctance variable pré­­senté à la figure 2.1. Y β θ X Rotor 0 α Stator Figure 2.1 Moteur à réluctance variable élé­­men­­taire Le rotor est ovale et les deux bobi­­nages de la machine, notés α et β et pla­­cés au sta­­tor, sont en qua­­dra­­ture. Le moteur est dit « à réluctance variable » car l’entre­­fer du cir­­cuit magné­­tique cor­­res­­pon­­dant à chaque enrou­­le­­ment, varie 20 Magné­­tisme : sys­­tème à deux bobi­­nages FICHE 2 avec l’angle θ. L’inductance équi­­va­­lente par bobi­­nage est donc une fonc­­tion pério­­dique de θ. La rela­­tion entre les flux et les cou­­rants est de la forme : 0 iα Φα Lα (θ ) Φ = 0 Lβ (θ ) iβ β avec LD T LE T L0 L' cos 2T et S º· § ª L0 L' cos ¨ 2 «T » ¸ L0 L' cos 2T 2 ¼¹ © ¬ Wco = 1 iα 2 iα iβ L (θ ) iβ On obtient alors : Wco = ½ [L0 (iα²+iβ²) + L∆ cos(2θ) (iα² - iβ²)] On veut éta­­blir l’expres­­sion du couple élec­­tro­­ma­­gné­­tique du moteur, en fonc­­ ∂ [Wco ] tion de θ, selon les cou­­rants iα et iβ des bobi­­nages. On cal­­cule : Te = ∂θ à cou­­rants constants. On obtient : Te = - L∆ sin(2θ) (iα² - iβ²)] = L∆ sin(2θ) (iβ² - iα²) Remarque : si le dépha­­sage entre iβ et iα est nul ou un mul­­tiple de π/2, la valeur moyenne du couple est nulle. Pre­­nons le cas où : iD T I 2 cos T S· § iE T I 2 cos ¨ T ¸ I 2 sin T 2¹ © Alors Te = L∆ sin(2θ) (iβ² - iα²) = - 2 L∆ I² sin(2θ) cos(2θ) = - L∆ I² sin(4θ). La valeur moyenne d’une fonc­­tion sinu­­soï­­dale est nulle. Conseils Le cal­­cul du couple par cette méthode est sou­­vent long et fas­­ti­­dieux. Cepen­­dant, cette méthode se prête bien à des expé­­riences simples ou des simu­­la­­tions. Elle est géné­­ra­­li­­ sable au cas des moteurs pas à pas. Les résul­­tats obte­­nus sont assez loin des résul­­ tats théo­­riques. DOSSIER 1 : Le flux magné­­tique dans les machines La co­énergie est don­­née par : 21 Fiche 3 Sources à cou­­rant continu Objec­­tifs ✓✓ Intro­­duire la notion de puis­­sance four­­nie par une source à cou­­rant continu. ✓✓ Défi­­nir la conven­­tion récep­­teur d’un dipôle. ✓✓ Pré­­sen­­ter les divers types de sources. ✓✓ Pré­­sen­­ter l’usage pos­­sible de ces sources dans des appli­­ca­­tions cou­­rantes. Repères La valeur de la ten­­sion U et du cou­­rant I sont indé­­pen­­dantes du temps. On appelle puis­­sance la quan­­tité P = U I. Par défi­­ni­­tion, en conven­­tion récep­­ teur, la puis­­sance est posi­­tive lors­­qu’elle est reçue par un dipôle. Pour tester le fonc­­tion­­ne­­ment de cer­­tains sys­­tèmes, il faut sou­­vent uti­­li­­ser des sources de ten­­sion conti­­nue réglables. Dans la pra­­tique, l’expé­­ri­­men­­ta­­teur se sert : ff Soit d’ali­­men­­ta­­tions (élec­­tro­­niques) sta­­bi­­li­­sées ; la ten­­sion est rigou­­reu­­se­­ment constante en fonc­­tion du temps et réglable de manière très souple. (Il n’est guère pos­­sible de dépas­­ser 50 V, pour un cou­­rant maximal de 5 A, soit une puis­­sance maximale de 250 W). ff Soit d’ali­­men­­ta­­tions (élec­­tro­­niques) à décou­­page ; la ten­­sion est asser­­vie constante en fonc­­tion du temps et réglable de manière très souple. (Il n’est guère pos­­sible de dépas­­ser 50 V pour un cou­­rant maximal de 20 A, soit une puis­­sance maximale de 1000 W). La plu­­part de ces ali­­men­­ta­­ tions sont pro­­gram­­mables. ff Soit d’ali­­men­­ta­­tions (élec­­tro­­niques) obte­­nues par redres­­se­­ment et fil­­trage ; la ten­­sion est réglée soit par un auto­trans­­for­­ma­­teur, soit asser­­vie et alors réglable de manière très souple. Selon la puis­­sance de l’ali­­men­­ta­­tion mono­­pha­­sée ou tri­­pha­­sée du redres­­seur, et selon la taille des compo­­ sants élec­­tro­­niques (diodes ou thy­­ris­­tors), il est pos­­sible d’obte­­nir des ten­­sions très éle­­vées (jus­­qu’à 100 kV), de très fortes inten­­si­­tés (plu­­sieurs milliers d’ampères). 22 Sources à cou­­rant continu FICHE 3 S a v o i r - ­F a i r e Uti­­li­­sation d’une source à valeur moyenne de ten­­sion non nulle. Dans la pra­­tique, l’expé­­ri­­men­­ta­­teur se sert : ff ff cace de la ten­­sion sont réglables de manière très souple ; Soit d’une ali­­men­­ta­­tion obte­­nue par une dynamo ; la valeur moyenne de la ten­­ sion est réglée par le cou­­rant d’exci­­ta­­tion et par la vitesse de rota­­tion, de manière très souple. Les puis­­sances uti­­li­­sables dépendent essen­­tiel­­le­­ment de la puis­­sance nomi­­nale de la machine et du moteur d’entraî­­ne­­ment ; Soit d’ali­­men­­ta­­tions obte­­nues par un alter­­nateur ; la valeur moyenne de la ten­­ sion est réglée en fai­­sant varier le cou­­rant continu cir­­cu­­lant dans la roue polaire de l’alter­­nateur. La ten­­sion conti­­nue est obte­­nue après redres­­se­­ ment à diodes ou à thy­­ris­­tors. Sa valeur dépend de la vitesse du moteur d’entraî­­ne­­ment, et éven­­tuel­­le­­ment, de la commande des thy­­ris­­tors. E n p r a ­­t i q u e Va­leur moyenne d’une gran­­deur pério­­dique © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. On appelle puis­­sance ins­­tanta­­née la quan­­tité p(t) = v(t) i(t). Par défi­­ni­­tion, la puis­­sance active reçue par un dipôle, en conven­­tion récep­­ teur, (cf. figure 3.1) est don­­née par : pmoy p §1· P ¨ ¸ ©T ¹ t 0 T ³ v t . i(t).dt t0 i(t) v(t) Dipôle récepteur Conseils Les sources « élec­­tro­­niques » (ali­­men­­ta­­tions sta­­bi­­li­­sées, à décou­­page ) sont pro­­té­­gées contre les sur­­in­­ten­­si­­tés. Il est par­­fois pos­­sible de les uti­­li­­ser « en limi­­ta­­tion de cou­­rant » pour obte­­nir une source de cou­­rant. Figure 3.1 Conven­­tion récep­­teur d’un dipôle DOSSIER 1 : Le flux magné­­tique dans les machines ff Soit d’ali­­men­­ta­­tions (élec­­tro­­niques) de puis­­sance ; les valeurs moyenne et effi­­ La puis­­sance active est la valeur moyenne de p(t), et s’exprime en Watts (W). Si le terme obtenu est néga­­tif, le dipôle est géné­­ra­­teur. 23 Fiche 4 Sources à cou­­rant alter­­na­­tif mono­­phasé Objec­­tifs ✓✓ Défi­­nir la notion de puis­­sance active et réac­­tive four­­nie par une source à cou­­rant alter­­na­­tif mono­­phasé. ✓✓ Intro­­duire la notion de décom­­po­­si­­tion en série de Fourier. ✓✓ Expri­­mer alors les puis­­sances active, réac­­tive, appa­­rente et défor­­mante. Repères Puis­­sance en régime sinu­­soï­­dal En consi­­dé­­rant la figure 3.1 (Fiche N° 3), on défi­­nit les expres­­sions des gran­­ deurs ins­­tanta­­nées : ff pour la ten­­sion : v (t) = V 2 cos (ω t ) ff pour le cou­­rant : ϕ est le retard de phase. i(t) = I 2 cos (ω t − ϕ ) La puis­­sance active se cal­­cule avec la rela­­tion P = V I cos (ϕ ) (en W). La puis­­sance réac­­tive est défi­­nie par Q = V I sin (ϕ ) L’unité de la puis­­sance réac­­tive est le Volt - Ampère réac­­tif (VAR). La puis­­sance appa­­rente est obte­­nue par S =V I (en VA) Entre les puis­­sances, la rela­­tion est : S² = P² + Q² Le fac­­teur d’uti­­li­­sation fu devient le fac­­teur de puis­­sance et s’iden­­ti­­fie à cos φ. Théo­­rème de Boucherot : il y a conser­­va­­tion de la puis­­sance réac­­tive Q en régime sinu­­soï­­dal, dans un cir­­cuit à fré­­quence unique et ne compor­­tant que des impé­­dances. 24 FICHE 4 Sources à cou­­rant alter­­na­­tif mono­­phasé S a v o i r - ­F a i r e D’une manière géné­­rale, les valeurs effi­­caces d’une ten­­sion et d’un cou­­rant mono­­pha­­sés sont défi­­nies à par­­tir de la puis­­sance active dis­­si­­pée dans une résis­­tance R : p P 1 T En consi­­dé­­rant que P = R . Ieff2 = t 0T Ieff 1 . T ³ t 0 T ³ R. i 2 (t).dt t0 Veff2 R 1 T t 0 T ³ t0 v 2 (t) .dt R , on défi­­nit la valeur effi­­cace du cou­­rant i 2 t .dt et la valeur effi­­cace de la ten­­sion Veff t0 t 0T 1 . T ³ v t .dt . 2 t0 Remarque : les lois des mailles et des nœuds ne s’appliquent pas aux valeurs effi­­caces. E n p r a ­­t i q u e Décom­­po­­si­­tion en sé­rie de Fourier En électronique de puis­­sance, il est plus inté­­res­­sant d’écrire le déve­­lop­­pe­­ment en série de Fourier de la manière sui­­vante : f v (t) V0 ¦ Vk . 2.cos kZ.t T k © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. k 1 V0 est la valeur moyenne de la ten­­sion v(t) et Vk est la valeur effi­­cace de l’har­­ b mo­­nique de rang k. On a Vk . 2 = ak2 + bk2 et tg (θ k ) = k ak De même, on écrit : f i(t) I0 ¦ Ik . 2.cos kZ.t Mk T k k 1 Le dépha­­sage entre cou­­rant et ten­­sion cor­­res­­pon­­dant à l’har­­mo­­nique k est ϕk. La valeur moyenne de la ten­­sion v(t) est V0, et celle du cou­­rant est I0. La valeur effi­­cace de v(t) est Veff2 f V02 ¦ Vk2 . DOSSIER 1 : Le flux magné­­tique dans les machines pmoy k 1 25 FICHE 4 Sources à cou­­rant alter­­na­­tif mono­­phasé La valeur effi­­cace de i(t) est Ieff2 f I02 ¦ Ik2 . k 1 La valeur de la puis­­sance appa­­rente est Seff² = Veff² Ieff² On démontre que la puis­­sance active est don­­née par : Conseils f Lors de l’usage expé­­ri­­men­­tal d’une source, bien veiller à ce qu’il reste à l’inté­­rieur de son domaine d’appli­­ca­­tion. Il est tou­­jours pré­­fé­­rable que la source soit à ten­­sion sinu­­soï­­dale, et même à cou­­rant sinu­­soï­­dal, car c’est ainsi que la puis­­sance active est la mieux trans­­mise : il n’y a pas de « pertes » pro­­vo­­quées par les har­­mo­­niques. En effet, si la ten­­sion est sinu­­soï­­dale « pure » : v(t ) = V 2 cos (ω.t ) Alors, même si le cou­­rant n’est pas sinu­­soï­­dal, il est possible d’écrire : P = V I1 cos (ϕ 1 ) Q V I1 sin M 1 Ieff2 f I02 ¦ Ik2 . k 1 S 26 V . Ieff2 f ª º V «I02 ¦ Ik2 .» k 1 ¬ ¼ P V0 . Io ¦ Vk .Ik .cos Mk (en W) k 1 Une défi­­ni­­tion de la puis­­sance réac­­tive est la sui­­vante : f Q ¦ V .I .sin M (en VAR) k k k k 1 La puis­­sance défor­­mante D est défi­­nie de la manière sui­­vante : S² = P² + Q² + D² ce qui donne : D = S 2 − (P 2 + Q2 ) Source à cou­­rant alter­­na­­tif tri­­phasé Fiche 5 Objec­­tifs ✓✓ Défi­­nir la notion de puis­­sance active et réac­­tive four­­nie par une source à cou­­rant alter­­na­­tif tri­­phasé. ✓✓ Intro­­duire la notion de décom­­po­­si­­tion en série de Fourier. Repères ia(t) ib(t) ic(t) va(t) Charge triphasée vb(t) vc(t) Neutre Figure 5.1 Ali­­men­­ta­­tion d’une charge tri­­pha­­sée Dans ce cas, en consi­­dé­­rant la figure 5.1, on défi­­nit les gran­­deurs sui­­vantes : ff pour les ten­­sions : v a (t) V 2 cos Z t 2S § v b (t) V 2 cos ¨ Z t 3 © 2S § v c (t) V 2 cos ¨ Z t 3 © · ¸ ¹ · ¸ ¹ DOSSIER 1 : Le flux magné­­tique dans les machines ✓✓ Expri­­mer alors les puis­­sances active, réac­­tive, appa­­rente et défor­­mante. 27 FICHE 5 Source à cou­­rant alter­­na­­tif tri­­phasé ff pour les cou­­rants : ϕ est le retard de phase. ia (t) I 2 cos Z t M 2S · § M ¸ ib (t) I 2 cos ¨ Z t 3 ¹ © 2S · § M ¸ ic (t) I 2 cos ¨ Z t 3 ¹ © La puis­­sance active se cal­­cule par la rela­­tion P = 3 V I cos ϕ (en W) La puis­­sance réac­­tive vaut Q = 3 V I sin ϕ ⋅ (en VAR). La puis­­sance appa­­rente est obte­­nue par S = 3 V I (en VA) Entre les puis­­sances, la rela­­tion est : S² = P² + Q² Le fac­­teur d’uti­­li­­sation fu devient le fac­­teur de puis­­sance et s’iden­­ti­­fie à cos φ. Comme en mono­­phasé, la puis­­sance appa­­rente nomi­­nale SN déter­­mine le dimensionnement des machines et des conver­­tis­­seurs. S a v o i r - ­F a i r e Puis­­sance ins­­tanta­­née en régime sinu­­soï­­dal équi­­li­­bré Cal­­cu­­lons la puis­­sance ins­­tanta­­née : p = v a (t).ia (t) + v b (t).ib (t) + v c (t).ic (t) . On obtient : p 2S · 2S · 2S · ª § § § § 2 VI «cos Z t cos Z t M cos ¨ Z t ¸ cos ¨ Z t M ¸ cos ¨ Z t ¸ cos ¨ Z t 3 ¹ 3 ¹ 3 ¹ © © © © ¬ 2S · 2S · 2S · º 2S · ª § § § § 2 VI «cos Z t cos Z t M cos ¨ Z t ¸ cos ¨ Z t M ¸ cos ¨ Z t ¸ cos ¨ Z t M ¸ 3 ¹ 3 ¹ 3 ¹ »¼ 3 ¹ © © © © ¬ Ce qui donne : 4S · 4S · º ª § § p VI «cosM cos 2Z t M cosM cos ¨ 2Z t M ¸ cosM cos ¨ 2Z t M ¸ 3 ¹ 3 ¹ »¼ © © ¬ 4S · 4S · º ª § § p VI «cosM cos 2Z t M cosM cos ¨ 2Z t M ¸ cosM cos ¨ 2Z t M ¸ 3 ¹ 3 ¹ »¼ © © ¬ soit p = P = 3 V I cos ϕ. 28 Source à cou­­rant alter­­na­­tif tri­­phasé FICHE 5 En régime tri­­phasé sinu­­soï­­dal équi­­li­­bré, la puis­­sance ins­­tanta­­née est égale à la puis­­sance active. Puis­­sance moyenne Par défi­­ni­­tion, la puis­­sance active reçue en conven­­tion récep­­teur est don­­née par : p P t 0 T ³ ( v a (t).ia (t) v b (t).ib (t) v c (t).ic (t)).dt t0 La puis­­sance active est la valeur moyenne de p(t) et s’exprime en Watts (W). Si le terme obtenu est néga­­tif, on a affaire à un géné­­ra­­teur tri­­phasé. Une défi­­ni­­tion pos­­sible de la puis­­sance réac­­tive consiste à consi­­dé­­rer qu’elle résulte d’une valeur moyenne de termes ana­­logues à la puis­­sance ins­­tanta­­ née, où les ten­­sions sont retar­­dées de π/2. Mais il est néces­­saire que les formes d’onde des ten­­sions soient sinu­­soï­­dales. On uti­­lise alors la rela­­tion : Q 1 T t 0 T ³ (va (t t0 T T T ).ia (t) v b ( t ).ib (t) v c ( t ).ic (t)).dt 4 4 4 On verra qu’en uti­­li­­sant la trans­­for­­ma­­tion de Concordia (voir la Fiche N° 6), une autre défi­­ni­­tion de la puis­­sance réac­­tive est pos­­sible. E n p r a ­­t i q u e © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. Décom­­po­­si­­tion en sé­rie de Fourier en tri­­phasé On consi­­dère que chaque géné­­ra­­teur four­­nit un sys­­tème de ten­­sions pério­­ diques va(t), vb(t), vc(t), non sinu­­soï­­dales, déca­­lées entre elles d’un tiers de période. En uti­­li­­sant le théo­­rème de Fourier, on écrit pour cha­­cune des phases : f v a (t) V 2 cos Z t ¦ Vk 2 cos kZ t T k k 2 D’autre part, on a : 2.S · f § v b (t) V 2 cos ¨ Z t ¸ ¦ Vk 3 ¹ k 2 © 2S · ª § º 2.cos «k ¨ Z t ¸ Tk » 3 ¹ ¬ © ¼ et enfin : 2.S § v c (t) V 2 cos ¨ Z t 3 © 2.S ª § · f ¸ ¦ Vk 2 cos «k ¨ Z t 3 ¹ k 2 ¬ © º · ¸ Tk » ¹ ¼ DOSSIER 1 : Le flux magné­­tique dans les machines pmoy 1 T 29 FICHE 5 Source à cou­­rant alter­­na­­tif tri­­phasé De même, on écrit : f ia (t) I 2 cos Zt M ¦ Ik 2 cos kZ.t Mk T k k 2 De même, pour les autres phases : 2S 2S · ª § º § · f ib (t) I 2 cos ¨ Zt M ¸ ¦ Ik 2.cos «k ¨ Z t ¸ Mk T k » 3 3 ¹ © ¹ k 2 ¬ © ¼ 2S 2S ª § § · f ic (t) I 2 cos ¨ Zt M ¸ ¦ Ik 2.cos «k ¨ Z t 3 3 © ¹ k 2 ¬ © º · ¸ Mk T k » ¹ ¼ Le dépha­­sage cor­­res­­pon­­dant à l’har­­mo­­nique k entre cou­­rant et ten­­sion d’une phase don­­née est φk. La valeur effi­­cace de v(t) est Veff2 k 2 Conseils La valeur effi­­cace de i(t) est Ieff2 Comme en mono­­phasé, lors de l’usage expé­­ri­­ men­­tal d’une source, bien veiller à ce qu’il reste à l’inté­­rieur de son domaine d’appli­­ca­­tion. Il est tou­­jours pré­­fé­­rable que la source soit à ten­­sion sinu­­soï­­dale, et même à cou­­rant sinu­­soï­­dal, car c’est ainsi que la puis­­sance active est la mieux trans­­mise : il n’y a pas de « pertes » pro­­vo­­quées par les har­­mo­­niques. En effet, si le sys­­tème des trois ten­­sions est sinu­­soï­­dal « pur » et équi­­li­­bré de valeur effi­­ cace V : En consi­­dé­­rant : • Que la forme d’onde des cou­­rants est la même pour chaque phase à un tiers de période près ; 2 • Que la valeur effi­­cace Ieff f I02 ¦ Ik2 . est k 1 iden­­tique pour chaque phase ; alors : P = 3V I1 cos (ϕ 1 ) Q = 3 V I1 sin (ϕ 1 ) ª ª 2 f f 2 2º º V. 2..Ieff2Ieff2 =99 9V SSS 2 9=9V9V VV 2 «I«02I0¦ ¦IkI.k».» ¬ ¬ k k1 1 ¼ ¼ 30 f V 2 ¦ Vk2 . f I 2 ¦ Ik2 . k 2 La valeur de la puis­­sance appa­­rente est alors Seff² = 3⋅Veff² Ieff² On démontre que la puis­­sance active est don­­ née par : f P 3 V I cos M ¦ 3Vk Ik cos Mk k 2 Par défi­­ni­­tion, la puis­­sance réac­­tive est don­­ née par : f Q 3V I sin M ¦ 3Vk Ik sin Mk k 2 La puis­­sance défor­­mante D est éga­­le­­ment défi­­nie de la manière sui­­vante : D = S 2 − (P 2 + Q2 ) ">
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