Dunod Commande électronique des machines Manuel utilisateur

ドキュメント
La commande
&eacute;lectronique
des machines
En 65 fiches-outils
Michel Pinard
Maquette int&eacute;rieure : Belle Page
&copy; Dunod, Paris, 2013
ISBN 978-2-10-058481-9
Sommaire
Les cahiers techniques, mode d’emploi............................. 6
Dossier 1 Le flux magn&eacute;&shy;&shy;tique dans les machines............... 8
Fiche 1
Fiche 2
Fiche 3
Fiche 4
Fiche 5
Fiche 6
Fiche 7
Magn&eacute;&shy;&shy;tisme : sys&shy;&shy;t&egrave;me &agrave; un seul bobi&shy;&shy;nage......... 12
Magn&eacute;&shy;&shy;tisme : sys&shy;&shy;t&egrave;me &agrave; deux bobi&shy;&shy;nages........... 18
Sources &agrave; cou&shy;&shy;rant continu. .............................. 22
Sources &agrave; cou&shy;&shy;rant alter&shy;&shy;na&shy;&shy;tif mono&shy;&shy;phas&eacute;........... 24
Source &agrave; cou&shy;&shy;rant alter&shy;&shy;na&shy;&shy;tif tri&shy;&shy;phas&eacute;. ................ 27
Th&eacute;o&shy;&shy;r&egrave;me de Ferraris. Trans&shy;&shy;for&shy;&shy;ma&shy;&shy;tions............. 31
Trans&shy;&shy;for&shy;&shy;ma&shy;&shy;tion de Park.................................... 38
Dossier 2 Conver&shy;&shy;tis&shy;&shy;seurs de Puis&shy;&shy;sance.............................. 44
&copy; Dunod – Toute reproduction non autoris&eacute;e est un d&eacute;lit.
Fiche 8 Les hacheurs (Choppers).................................... 48
Fiche 9 Le hacheur en uti&shy;&shy;li&shy;&shy;sation pra&shy;&shy;tique. ................... 51
Fiche 10 Les redresseurs &agrave; diodes (Rectifiers)................... 57
Fiche 11 Redres&shy;&shy;seur &agrave; thy&shy;&shy;ris&shy;&shy;tors
(Thyristor-&shy;based rec&shy;&shy;ti&shy;&shy;fier bridge)............................. 60
Fiche 12 Les Onduleurs mono&shy;&shy;pha&shy;&shy;s&eacute;s
(Single phase inverters)......................................... 67
Fiche 13 Les Gradateurs mono&shy;&shy;pha&shy;&shy;s&eacute;s
(The power dimmers)........................................... 74
Fiche 14 Les Onduleurs auto&shy;&shy;nomes tri&shy;&shy;pha&shy;&shy;s&eacute;s
(The three phase inverters).................................... 78
Fiche 15 L’Onduleur tri&shy;&shy;phas&eacute; &agrave; modulation de largeur
d’impulsion vec&shy;&shy;to&shy;&shy;rielle (The SVPWM inverter)..... 84
Fiche 16 L’onduleur assist&eacute; (The load-&shy;controlled inverter)..... 90
Dossier 3 Uti&shy;&shy;li&shy;&shy;sation du moteur &agrave; cou&shy;&shy;rant continu........ 93
Fiche 17 Le moteur &agrave; cou&shy;&shy;rant continu
en r&eacute;gime sta&shy;&shy;tion&shy;&shy;naire (DC motor)..................... 96
Fiche 18 Le moteur &agrave; cou&shy;&shy;rant continu : ali&shy;&shy;men&shy;&shy;ta&shy;&shy;tion
par hacheur....................................................105
Fiche 19 Le moteur &agrave; cou&shy;&shy;rant continu :
r&eacute;gime dyna&shy;&shy;mique...........................................110
Fiche 20 Le moteur &agrave; cou&shy;&shy;rant continu : &eacute;tude de cas.....118
Fiche 21 Le moteur &agrave; cou&shy;&shy;rant continu : mod&egrave;le d’&eacute;tat...123
Fiche 22 Moteur &agrave; cou&shy;&shy;rant continu.
Uti&shy;&shy;li&shy;&shy;sation en robo&shy;&shy;tique..................................131
Fiche 23 Commande d’un moteur &agrave; cou&shy;&shy;rant continu :
frei&shy;&shy;nage..........................................................139
3
Sommaire
Dossier 4 Uti&shy;&shy;li&shy;&shy;sation du moteur &agrave; cou&shy;&shy;rant alter&shy;&shy;na&shy;&shy;tif....145
Fiche 24 Moteur s&eacute;rie uni&shy;&shy;ver&shy;&shy;sel.....................................148
Fiche 25 Moteur asyn&shy;&shy;chrone mono&shy;&shy;phas&eacute;
et moteur diphas&eacute;...........................................154
Fiche 26 Machine syn&shy;&shy;chrone &agrave; p&ocirc;les lisses
en r&eacute;gime sta&shy;&shy;tion&shy;&shy;naire lin&eacute;aire.........................159
Fiche 27 Machine syn&shy;&shy;chrone &agrave; p&ocirc;les saillants
en r&eacute;gime sta&shy;&shy;tion&shy;&shy;naire lin&eacute;aire.........................165
Fiche 28 Machine syn&shy;&shy;chrone en r&eacute;gime sta&shy;&shy;tion&shy;&shy;naire
non-&shy;lin&eacute;aire....................................................169
Fiche 29 Machine syn&shy;&shy;chrone en r&eacute;gime dyna&shy;&shy;mique........175
Fiche 30 Machine syn&shy;&shy;chrone : uti&shy;&shy;li&shy;&shy;sation
de la Trans&shy;&shy;for&shy;&shy;m&eacute;e de Park...............................183
Fiche 31 Machine asyn&shy;&shy;chrone en r&eacute;gime sta&shy;&shy;tion&shy;&shy;naire :
mod&eacute;&shy;&shy;li&shy;&shy;sa&shy;&shy;tion...................................................192
Fiche 31 (suite) Machine asyn&shy;&shy;chrone en r&eacute;gime
sta&shy;&shy;tion&shy;&shy;naire : Couple. Essais exp&eacute;&shy;&shy;ri&shy;&shy;men&shy;&shy;taux.....198
Fiche 32 Moteur asyn&shy;&shy;chrone en r&eacute;gime dyna&shy;&shy;mique........206
Fiche 33 D&eacute;ter&shy;&shy;mi&shy;&shy;na&shy;&shy;tion exp&eacute;&shy;&shy;ri&shy;&shy;men&shy;&shy;tale des &eacute;l&eacute;&shy;&shy;ments
du mod&egrave;le de la machine asyn&shy;&shy;chrone..............216
Dossier 5 Contr&ocirc;le asser&shy;&shy;visse&shy;&shy;ment commande..............223
Fiche 34 Contr&ocirc;le en vitesse d’un moteur......................226
Fiche 35 Commande en couple d’un moteur &eacute;lec&shy;&shy;trique..... 232
Fiche 36 Les Cap&shy;&shy;teurs...................................................238
Fiche 37 M&eacute;thodes de Strejc, Bro&iuml;da
et Ziegler-&shy;Nichols............................................246
Fiche 38 Sys&shy;&shy;t&egrave;mes bou&shy;&shy;cl&eacute;s ana&shy;&shy;lo&shy;&shy;giques.........................250
Fiche 39 Les avan&shy;&shy;tages de la commande num&eacute;&shy;&shy;rique......255
Fiche 40 Cor&shy;&shy;rec&shy;&shy;tion des sys&shy;&shy;t&egrave;mes ana&shy;&shy;lo&shy;&shy;giques
et num&eacute;&shy;&shy;riques.................................................263
Fiche 41 Simu&shy;&shy;la&shy;&shy;tion d’une r&eacute;gu&shy;&shy;la&shy;&shy;tion de vitesse
&agrave; moteur &agrave; cou&shy;&shy;rant continu............................273
Dossier 6 Machine syn&shy;&shy;chrone : commande......................283
Fiche 42 Cou&shy;&shy;plage d’une machine syn&shy;&shy;chrone
sur le r&eacute;seau....................................................287
Fiche 43 Cou&shy;&shy;plage d’un moteur syn&shy;&shy;chrone
sur le r&eacute;seau....................................................299
Fiche 44 Auto&shy;pilotage d’un moteur syn&shy;&shy;chrone...............306
Fiche 45 Pilo&shy;&shy;tage d’une machine syn&shy;&shy;chrone
par DSP ou FPGA...........................................316
Fiche 46 Moteurs &agrave; r&eacute;luctance variable. ........................324
Fiche 47 Moteurs pas &agrave; pas..........................................332
4
Sommaire
Dossier 7 Machine asyn&shy;&shy;chrone : commande....................333
Fiche 48 Cou&shy;&shy;plage sur le r&eacute;seau d’une machine
asyn&shy;&shy;chrone.....................................................336
Fiche 49 Commande en vitesse du moteur asyn&shy;&shy;chrone. .... 341
Fiche 50 Commande en boucle ouverte du moteur
asyn&shy;&shy;chrone.....................................................348
Fiche 51 Auto&shy;pilotage sca&shy;&shy;laire du moteur asyn&shy;&shy;chrone....356
Fiche 52 Contr&ocirc;le vec&shy;&shy;to&shy;&shy;riel du moteur asyn&shy;&shy;chrone.........359
Fiche 53 Commande &agrave; flux orient&eacute; du moteur
asyn&shy;&shy;chrone.....................................................369
Fiche 54 Pilo&shy;&shy;tage par pro&shy;&shy;ces&shy;&shy;seur : commande directe
du couple par DSP ou FPGA...........................377
Dossier 8 Le moteur &eacute;lec&shy;&shy;trique en milieu indus&shy;&shy;triel.......381
Fiche 55 Les sys&shy;&shy;t&egrave;mes indus&shy;&shy;triels...................................385
Fiche 56 Le moteur &eacute;lec&shy;&shy;trique dans l’envi&shy;&shy;ron&shy;&shy;ne&shy;&shy;ment
indus&shy;&shy;triel........................................................390
Fiche 57 Utilisation d’un moteur &agrave; cou&shy;&shy;rant continu.......391
Fiche 58 Uti&shy;&shy;li&shy;&shy;sation d’un moteur syn&shy;&shy;chrone
auto&shy;pilot&eacute;.......................................................392
Fiche 59 Le moteur asyn&shy;&shy;chrone dans les sys&shy;&shy;t&egrave;mes
indus&shy;&shy;triels.......................................................399
Fiche 60 Commandes d’axes.........................................405
Fiche 61 Choix entre les divers moteurs
et leur commande...........................................413
Annexes . .....................................................................414
Index
. .....................................................................415
5
Les cahiers techniques,
mode d’emploi
Les fiches sont
class&eacute;es par dossier
Une introduction reprenant
les grandes th&eacute;matiques
du dossier
6
Un menu d&eacute;roulant des
fiches du dossier
FICHE 
LaLes
commande
cahiers techniques,
&eacute;lectronique
mode
desd’emploi
machines
Une signal&eacute;tique claire
Une partie Savoirfaire qui d&eacute;taille
la mise en œuvre
Mise en avant
de l’objectif
de la fiche
Une partie Rep&egrave;res
pour d&eacute;finir
les bases
Des compl&eacute;ments
d’information pour
aller plus loin
Des sch&eacute;mas
clairs et complets
Une partie En pratique
pour une application
terrain
7
DOSSIER
1
Le flux magn&eacute;&shy;&shy;tique
dans les machines
Cas g&eacute;n&eacute;&shy;&shy;ral
Comment obtient-&shy;on un couple moteur dans un conver&shy;&shy;tis&shy;&shy;seur (ou machine)
&eacute;lec&shy;&shy;tro&shy;&shy;m&eacute;&shy;&shy;ca&shy;&shy;nique ?
D’une mani&egrave;re g&eacute;n&eacute;&shy;&shy;rale, toute machine (moteur ou g&eacute;n&eacute;&shy;&shy;ra&shy;&shy;trice) asso&shy;&shy;ci&eacute;e &agrave;
une charge m&eacute;ca&shy;&shy;nique peut &ecirc;tre consi&shy;&shy;d&eacute;&shy;&shy;r&eacute;e comme un sys&shy;&shy;t&egrave;me o&ugrave; les gran&shy;&shy;
deurs phy&shy;&shy;siques d’entr&eacute;e sont :
❯❯ un &laquo; vec&shy;&shy;teur ten&shy;&shy;sion &raquo; [V] compor&shy;&shy;tant une ou plu&shy;&shy;sieurs compo&shy;&shy;santes,
❯❯ le couple r&eacute;sis&shy;&shy;tant de la charge, not&eacute; Tr, en N. m.
La gran&shy;&shy;deur interne essen&shy;&shy;tielle est le &laquo; vec&shy;&shy;teur &raquo; flux magn&eacute;&shy;&shy;tique [Φ].
Les gran&shy;&shy;deurs phy&shy;&shy;siques de sor&shy;&shy;tie sont :
❯❯ un &laquo; vec&shy;&shy;teur cou&shy;&shy;rant &raquo; [I] compor&shy;&shy;tant une ou plu&shy;&shy;sieurs compo&shy;&shy;santes,
❯❯ la vitesse angu&shy;&shy;laire de la machine Ω, en rad/s.
❯❯ la posi&shy;&shy;tion angu&shy;&shy;laire de la machine θ du rotor, en rad.
Vecteur Tension [V]
Vecteur Courant [I]
Vecteur Flux
magn&eacute;tique
Couple charge Tr
[Φ]
Ω
Vitesse angulaire
Position angulaire
θ
Figure 1.1 Prin&shy;&shy;cipe de la conver&shy;&shy;sion &eacute;lec&shy;&shy;tro&shy;&shy;m&eacute;&shy;&shy;ca&shy;&shy;nique
En uti&shy;&shy;li&shy;&shy;sant le logi&shy;&shy;ciel VisSim
La d&eacute;marche des concep&shy;&shy;teurs de ce logi&shy;&shy;ciel est simi&shy;&shy;laire &agrave; ce qui est pr&eacute;&shy;&shy;sent&eacute;
ci-&shy;dessus :
Les gran&shy;&shy;deurs phy&shy;&shy;siques d’entr&eacute;e sont alors (cf. figure 1.2) :
❯❯ un &laquo; vec&shy;&shy;teur ten&shy;&shy;sion &raquo; [V] compor&shy;&shy;tant deux compo&shy;&shy;santes, l’une posi&shy;&shy;tive,
l’autre n&eacute;ga&shy;&shy;tive,
❯❯ le couple r&eacute;sis&shy;&shy;tant de la charge (Load Re&shy;action Torque Vector).
Les gran&shy;&shy;deurs phy&shy;&shy;siques de sor&shy;&shy;tie sont (cf. figure 1.2) :
❯❯ le d&eacute;pla&shy;&shy;ce&shy;&shy;ment angu&shy;&shy;laire θ (Rotor Dis&shy;place&shy;&shy;ment) exprim&eacute; en rad,
8
Motor + (volts)
Motor − (volts)
Load Reaction Torque Vector
Rotor Displacement (rad)
Basic DC Motor
Rotor Angular Velocity (rad/sec)
(Permanent Magnet)
Motor Current (amps)
Figure 1.2 Logi&shy;&shy;ciel VisSim : cas du moteur &agrave; cou&shy;&shy;rant continu &agrave; aimant per&shy;&shy;manent
&Eacute;quation des flux
Les divers flux d’une machine
1
DOSSIER
dθ
(Rotor Angular Velocity) exprim&eacute; en rad/sec,
dt
❯❯ l’inten&shy;&shy;sit&eacute; du cou&shy;&shy;rant d’induit (Rotor Dis&shy;place&shy;&shy;ment) exprim&eacute; en A.
❯❯ la vitesse angu&shy;&shy;laire Ω=
D’une mani&egrave;re g&eacute;n&eacute;&shy;&shy;rale, les n bobi&shy;&shy;nages d’une machine sont en cou&shy;&shy;plage
magn&eacute;&shy;&shy;tique mutuel et on consi&shy;&shy;d&egrave;re le flux &laquo; &eacute;l&eacute;&shy;&shy;men&shy;&shy;taire &raquo; d’une spire ϕcp du
bobi&shy;&shy;nage (ou enrou&shy;&shy;le&shy;&shy;ment) c pour la spire p.
On a Mcp
n
Mcpp &brvbar; Mcdp avec d ≠ c o&ugrave; ϕccp est le flux propre (ou d’auto-&shy;induction)
d 1
et ϕcdp est le flux (de mutuelle induc&shy;&shy;tion) cr&eacute;&eacute; &agrave; tra&shy;&shy;vers la spire p par les (n-1)
autres cir&shy;&shy;cuits.
Consi&shy;&shy;d&eacute;&shy;&shy;rons le flux total pour l’enrou&shy;&shy;le&shy;&shy;ment c compor&shy;&shy;tant Nc spires :
Nc
&brvbar;M
)c
p 1
Nc
cpp
n
&brvbar; &brvbar; Mcdp avec d ≠ c.
p 1 d 1
Nc
Le pre&shy;&shy;mier terme
) cd
Nc
&brvbar;M
p 1
cdp
&brvbar;M
p 1
cpp
est &eacute;gal au flux total propre Φcc et le deuxi&egrave;me terme
est le flux du cou&shy;&shy;plage mutuel des cir&shy;&shy;cuits c et d.
Le flux total propre Φcc se d&eacute;com&shy;&shy;pose en deux termes :
❯❯ le flux total de fuites Φfc qui cor&shy;&shy;res&shy;&shy;pond &agrave; la somme des flux des lignes de
champ pas&shy;&shy;sant dans les spires de l’enrou&shy;&shy;le&shy;&shy;ment c et ne tra&shy;&shy;ver&shy;&shy;sant aucune
spire des n-1 autres cir&shy;&shy;cuits ;
❯❯ le flux total de magn&eacute;&shy;&shy;ti&shy;&shy;sation Φmc qui cor&shy;&shy;res&shy;&shy;pond &agrave; la somme des flux des lignes
de champ pas&shy;&shy;sant les spires de l’enrou&shy;&shy;le&shy;&shy;ment c et tra&shy;&shy;ver&shy;&shy;sant au moins une
spire des n-1 autres cir&shy;&shy;cuits. Alors Φcc = Φfc + Φmc.
Matrice inductance
On d&eacute;signe sous les termes sui&shy;&shy;vants les inductances :
Φ
❯❯ de magn&eacute;&shy;&shy;ti&shy;&shy;sation Lmc = mc ;
ic
Φ cf
l
=
;
❯❯ de fuites f
ic
9
DOSSIER
1
❯❯ propre Lc =
Φ cc
= Lmc + l f ;
ic
❯❯ mutuelle Mcd =
Φ cd
.
id
Φ
Les inductances mutuelles sont sym&eacute;&shy;&shy;triques : donc Mcd = Mdc = dc .
ic
Mise sous forme matricielle :
Φ1   L1 M12
Φ   M
 2   21 L2
  = 

  
Φ c   Mc 1 Mc 2
Φ n   Mn1 Mn2
 M1c
 M2c
 
 Lc
 
M1n 
M2n 
 

 
Ln 
 i1 
i 
 2
 
 
 ic 
in 
Coefficients de cou&shy;&shy;plage et de dis&shy;&shy;per&shy;&shy;sion entre deux bobi&shy;&shy;nages c et d :
Consi&shy;&shy;d&eacute;&shy;&shy;rons l’expres&shy;&shy;sion :
K cd =
Mcd
Φ cd Φ dc
=
Φ dd Φ cc
Lc Ld
Par d&eacute;fi&shy;&shy;ni&shy;&shy;tion, Kcd est le coef&shy;&shy;fi&shy;&shy;cient de cou&shy;&shy;plage entre les cir&shy;&shy;cuits c et d (0 &lt; Kcd
&lt; 1).
❯❯ Si Kcd = 1, le cou&shy;&shy;plage est par&shy;&shy;fait ;
❯❯ si Kcd = 0, le cou&shy;&shy;plage est nul, par exemple, pour deux bobi&shy;&shy;nages dont les
axes sont en qua&shy;&shy;dra&shy;&shy;ture (sauf cas par&shy;&shy;ti&shy;&shy;cu&shy;&shy;liers).
On appelle coef&shy;&shy;fi&shy;&shy;cient de dis&shy;&shy;per&shy;&shy;sion de Blon&shy;&shy;del la quan&shy;&shy;tit&eacute; :
σ cd =1 −
10
Mcd2
=1 − K cd2
Lc Ld
DOSSIER
1
LES FICHES
Fiche 1 : Magn&eacute;&shy;&shy;tisme : sys&shy;&shy;t&egrave;me &agrave; un seul bobi&shy;&shy;nage . ...... 12
Fiche 2 : Magn&eacute;&shy;&shy;tisme : sys&shy;&shy;t&egrave;me &agrave; deux bobi&shy;&shy;nages .......... 18
Fiche 3 : Sources &agrave; cou&shy;&shy;rant continu . ............................. 22
Fiche 4 : Sources &agrave; cou&shy;&shy;rant alter&shy;&shy;na&shy;&shy;tif mono&shy;&shy;phas&eacute; ......... 24
Fiche 5 : Source &agrave; cou&shy;&shy;rant alter&shy;&shy;na&shy;&shy;tif tri&shy;&shy;phas&eacute; ................ 27
Fiche 6 : Th&eacute;o&shy;&shy;r&egrave;me de Ferraris. Trans&shy;&shy;for&shy;&shy;ma&shy;&shy;tions ........... 31
Fiche 7 : Trans&shy;&shy;for&shy;&shy;ma&shy;&shy;tion de Park . ................................. 38
11
Fiche 1
Magn&eacute;&shy;&shy;tisme : sys&shy;&shy;t&egrave;me &agrave; un seul
bobi&shy;&shy;nage
Objec&shy;&shy;tifs
✓✓ La formulation du couple d’un moteur &eacute;l&eacute;&shy;&shy;men&shy;&shy;taire peut &ecirc;tre obtenue &agrave; par&shy;&shy;tir de
l’&eacute;ner&shy;&shy;gie emma&shy;&shy;ga&shy;&shy;si&shy;&shy;n&eacute;e ou de la co&shy;&eacute;nergie.
✓✓ Intro&shy;&shy;duc&shy;&shy;tion de la notion d’inductance variable en fonc&shy;&shy;tion de la posi&shy;&shy;tion θ du
rotor.
✓✓ Expres&shy;&shy;sion de l’&eacute;qua&shy;&shy;tion m&eacute;ca&shy;&shy;nique et de l’&eacute;qua&shy;&shy;tion &eacute;lec&shy;&shy;trique d’un moteur &eacute;l&eacute;&shy;&shy;
men&shy;&shy;taire &agrave; un seul bobi&shy;&shy;nage.
Rep&egrave;res
Bil&shy;an des &eacute;ner&shy;&shy;gies mises en jeu
On consi&shy;&shy;d&egrave;re un sys&shy;&shy;t&egrave;me &eacute;lec&shy;&shy;tro&shy;&shy;m&eacute;&shy;&shy;ca&shy;&shy;nique &eacute;l&eacute;&shy;&shy;men&shy;&shy;taire qui ne comporte
qu’un seul bobi&shy;&shy;nage. Son &eacute;tude per&shy;&shy;met l’&eacute;ta&shy;&shy;blis&shy;&shy;se&shy;&shy;ment d’une rela&shy;&shy;tion simple
pour expri&shy;&shy;mer le couple. Les &eacute;ner&shy;&shy;gies mises en jeu sont les sui&shy;&shy;vantes :
ff Wfe = &eacute;ner&shy;&shy;gie four&shy;&shy;nie par la source ;
ff Wpe = &eacute;ner&shy;&shy;gie per&shy;&shy;due en pertes &eacute;lec&shy;&shy;triques ;
ff ∆Ws = &eacute;ner&shy;&shy;gie emma&shy;&shy;ga&shy;&shy;si&shy;&shy;n&eacute;e dans le conver&shy;&shy;tis&shy;&shy;seur ;
ff Wm = &eacute;ner&shy;&shy;gie m&eacute;ca&shy;&shy;nique ;
ff Wpm = &eacute;ner&shy;&shy;gie per&shy;&shy;due sous forme m&eacute;ca&shy;&shy;nique ;
ff ∆Wsm = &eacute;ner&shy;&shy;gie cin&eacute;&shy;&shy;tique ;
ff Wum = &eacute;ner&shy;&shy;gie uti&shy;&shy;li&shy;&shy;sable.
Ce qui donne en bilan de l’&eacute;ner&shy;&shy;gie m&eacute;ca&shy;&shy;nique :
Wm = Wpm + Wum + ∆Wsm
Par la suite, on se place dans le cas par&shy;&shy;ti&shy;&shy;cu&shy;&shy;lier o&ugrave; le conver&shy;&shy;tis&shy;&shy;seur est conservatif :
il y a conser&shy;&shy;va&shy;&shy;tion de la puis&shy;&shy;sance m&eacute;ca&shy;&shy;nique. Il n’y a donc ni pertes, ni
accu&shy;&shy;mu&shy;&shy;la&shy;&shy;tion d’&eacute;ner&shy;&shy;gie m&eacute;ca&shy;&shy;nique. D&eacute;si&shy;&shy;gnons alors par W e = W fe – W pe
l’&eacute;ner&shy;&shy;gie &eacute;lec&shy;&shy;trique appli&shy;&shy;qu&eacute;e au sys&shy;&shy;t&egrave;me. Alors on abou&shy;&shy;tit &agrave; la rela&shy;&shy;tion fon&shy;&shy;da&shy;&shy;
men&shy;&shy;tale :
We = ∆Ws + Wm
12
Magn&eacute;&shy;&shy;tisme : sys&shy;&shy;t&egrave;me &agrave; un seul bobi&shy;&shy;nage
FICHE 1
ou, sous forme dif&shy;&shy;f&eacute;&shy;&shy;ren&shy;&shy;tielle (uti&shy;&shy;li&shy;&shy;s&eacute;e par la suite) :
dWe = dWs + dWm
S a v o i r - &shy;F a i r e
&Eacute;nergie magn&eacute;tique emma&shy;&shy;ga&shy;&shy;si&shy;&shy;n&eacute;e
et co&shy;&eacute;nergie
Le flux d’un sys&shy;&shy;t&egrave;me &agrave; un seul bobi&shy;&shy;nage compor&shy;&shy;tant N spires par&shy;&shy;couru par
un cou&shy;&shy;rant i est donn&eacute; par la carac&shy;&shy;t&eacute;&shy;&shy;ris&shy;&shy;tique de magn&eacute;&shy;&shy;tisme de la figure 1.1.
On d&eacute;signe par force magn&eacute;to-&shy;motrice la quan&shy;&shy;tit&eacute; ε = N i.
Flux
magn&eacute;tique
&copy; Dunod – Toute reproduction non autoris&eacute;e est un d&eacute;lit.
D
Energie
A
Co&eacute;nergie
P
O
Ni
Figure 1.1 Carac&shy;&shy;t&eacute;&shy;&shy;ris&shy;&shy;tique du flux
L’&eacute;ner&shy;&shy;gie emma&shy;&shy;ga&shy;&shy;si&shy;&shy;n&eacute;e (ou sto&shy;&shy;ck&eacute;e) Ws cor&shy;&shy;res&shy;&shy;pond &agrave; l’aire du tri&shy;&shy;angle cur&shy;&shy;vi&shy;&shy;
ligne OAD.
Par d&eacute;fi&shy;&shy;ni&shy;&shy;tion, la co&shy;&eacute;nergie Wco cor&shy;&shy;res&shy;&shy;pond &agrave; l’aire du tri&shy;&shy;angle cur&shy;&shy;vi&shy;&shy;ligne OAP.
Ainsi, on obtient la rela&shy;&shy;tion :
DOSSIER 1 : Le flux magn&eacute;&shy;&shy;tique dans les machines
avec :
ff dWe : &eacute;ner&shy;&shy;gie &eacute;lec&shy;&shy;trique appli&shy;&shy;qu&eacute;e ;
ff dWs : &eacute;ner&shy;&shy;gie emma&shy;&shy;ga&shy;&shy;si&shy;&shy;n&eacute;e ;
ff dWm : &eacute;ner&shy;&shy;gie m&eacute;ca&shy;&shy;nique engen&shy;&shy;dr&eacute;e.
Ws + Wco = i Φ = ε ϕ
13
FICHE 1
Magn&eacute;&shy;&shy;tisme : sys&shy;&shy;t&egrave;me &agrave; un seul bobi&shy;&shy;nage
Ce qui per&shy;&shy;met d’&eacute;crire pour la co&shy;&eacute;nergie :
i
Wco
&sup3;) di
0
H
&sup3;M
dH
0
L’&eacute;ner&shy;&shy;gie emma&shy;&shy;ga&shy;&shy;si&shy;&shy;n&eacute;e et la co&shy;&eacute;nergie sont des fonc&shy;&shy;tions d’&eacute;tat (au sens ther&shy;&shy;
mo&shy;&shy;dy&shy;&shy;na&shy;&shy;mique du terme) du sys&shy;&shy;t&egrave;me conservatif.
Expression du couple
D’une mani&egrave;re g&eacute;n&eacute;&shy;&shy;rale, pour un sys&shy;&shy;t&egrave;me &agrave; un seul bobi&shy;&shy;nage, l’&eacute;&shy;nergie d&eacute;pend
du cou&shy;&shy;rant, du flux et de la posi&shy;&shy;tion angu&shy;&shy;laire θ. Il est pos&shy;&shy;sible d’&eacute;crire que
Ws = f(Φ, θ) avec :
dWs =
∂ Ws
∂ Ws
dΦ +
dθ = i d Φ − Te dθ
∂Φ
∂θ
Pour la co&shy;&eacute;nergie, il est pos&shy;&shy;sible d’&eacute;crire que Wc0 = g( i, θ) avec :
dWco =
∂ Wco
∂ Wco
di +
dθ = Φ di + Te dθ
∂ i
∂θ
Comme Ws + Wco = i Φ on obtient dWs + dWco = i dΦ + Φ di
Cas o&ugrave; il y a lin&eacute;a&shy;&shy;rit&eacute; entre le flux et le cou&shy;&shy;rant : le cir&shy;&shy;cuit magn&eacute;&shy;&shy;tique est non
satur&eacute; et de per&shy;&shy;m&eacute;a&shy;&shy;bi&shy;&shy;lit&eacute; constante.
On obtient alors : Φ = L i et Ws = Wco = &frac12; L i&sup2;. D’o&ugrave; la rela&shy;&shy;tion don&shy;&shy;nant le
couple :
1 dL
Te = i 2
2 dθ
Un sys&shy;&shy;t&egrave;me &agrave; seul bobi&shy;&shy;nage ne per&shy;&shy;met pas d’obte&shy;&shy;nir une valeur moyenne non
nulle du couple. En effet, l’inductance L(θ) est n&eacute;ces&shy;&shy;sai&shy;&shy;re&shy;&shy;ment une fonc&shy;&shy;tion
p&eacute;rio&shy;&shy;dique de l’angle θ. On uti&shy;&shy;lise fr&eacute;&shy;&shy;quem&shy;&shy;ment l’approxi&shy;&shy;ma&shy;&shy;tion sui&shy;&shy;vante :
L (θ ) = L0 + L∅ cos ( pθ ) o&ugrave; L0 et L∆ sont des constantes (L0 &gt; L∆), et p d&eacute;pend
de la g&eacute;o&shy;&shy;m&eacute;&shy;&shy;trie du rotor. Par exemple, p = 2 si, pour une rota&shy;&shy;tion mini&shy;&shy;male
de π, la confi&shy;&shy;gu&shy;&shy;ra&shy;&shy;tion magn&eacute;&shy;&shy;tique de la machine est la m&ecirc;me.
&sect; p&middot;
&uml; &cedil; L' i sin pT . Si le rotor de la
&copy;2&sup1;
machine tourne, alors θ = Ω t. La valeur moyenne du couple pour une p&eacute;riode
de rota&shy;&shy;tion est nulle.
Ici, l’expres&shy;&shy;sion du couple est Te T
14
Magn&eacute;&shy;&shy;tisme : sys&shy;&shy;t&egrave;me &agrave; un seul bobi&shy;&shy;nage
FICHE 1
&Eacute;quation dyna&shy;&shy;mique d’un sys&shy;&shy;t&egrave;me lin&eacute;aire
&agrave; un seul bobi&shy;&shy;nage
Le moment du couple agit g&eacute;n&eacute;&shy;&shy;ra&shy;&shy;le&shy;&shy;ment sur un sys&shy;&shy;t&egrave;me du deuxi&egrave;me ordre
du type (les nota&shy;&shy;tions des d&eacute;ri&shy;&shy;v&eacute;es sont celles qui sont uti&shy;&shy;li&shy;&shy;s&eacute;es en m&eacute;ca&shy;&shy;
x
xx
dT
d 2T
et T
) :
nique : T
dt
dt 2
xx
E Ri d &gt;L(T )@ x
d
di
T (&eacute;qua&shy;&shy;tion &eacute;lec&shy;&shy;trique)
&gt;L(T ) u i @ R i L(T ) i
dt
dt
dT
1 2 d [L(θ )]
i
dθ
2
Ce qui per&shy;&shy;met de conna&icirc;tre l’inter&shy;&shy;ac&shy;&shy;tion entre l’&eacute;qua&shy;&shy;tion m&eacute;ca&shy;&shy;nique et
l’&eacute;qua&shy;&shy;tion &eacute;lec&shy;&shy;trique.
Le couple du sys&shy;&shy;t&egrave;me est : Te =
&copy; Dunod – Toute reproduction non autoris&eacute;e est un d&eacute;lit.
E n p r a &shy;&shy;t i q u e
&Eacute;tude d’un cir&shy;&shy;cuit magn&eacute;&shy;&shy;tique en satu&shy;&shy;ra&shy;&shy;tion &agrave; l’aide
du logi&shy;&shy;ciel PSIM
Pr&eacute;&shy;&shy;sen&shy;&shy;ta&shy;&shy;tion
Il est pos&shy;&shy;sible de tester exp&eacute;&shy;&shy;ri&shy;&shy;men&shy;&shy;ta&shy;&shy;lement ou en simu&shy;&shy;la&shy;&shy;tion le compor&shy;&shy;te&shy;&shy;ment
d’un cir&shy;&shy;cuit magn&eacute;&shy;&shy;tique sou&shy;&shy;mis &agrave; une ten&shy;&shy;sion sinu&shy;&shy;so&iuml;&shy;&shy;dale, par exemple celui
d’une machine tour&shy;&shy;nante, qui comporte alors n&eacute;ces&shy;&shy;sai&shy;&shy;re&shy;&shy;ment un entre&shy;&shy;fer.
Un exemple de cir&shy;&shy;cuit magn&eacute;&shy;&shy;tique est pr&eacute;&shy;&shy;sent&eacute; &agrave; la figure 1.2a. Il s’agit d’un
cir&shy;&shy;cuit satu&shy;&shy;rable sou&shy;&shy;mis &agrave; une ten&shy;&shy;sion effi&shy;&shy;cace de 230 V, &agrave; la fr&eacute;&shy;&shy;quence 50 Hz.
Cette ten&shy;&shy;sion est appli&shy;&shy;qu&eacute;e avec une phase nulle &agrave; t = 0.
DOSSIER 1 : Le flux magn&eacute;&shy;&shy;tique dans les machines
x
Te C (T T0 ) f T J T T0 (&eacute;qua&shy;&shy;tion m&eacute;ca&shy;&shy;nique)
Te est le couple &eacute;lec&shy;&shy;tro&shy;&shy;ma&shy;&shy;gn&eacute;&shy;&shy;tique.
C est le coef&shy;&shy;fi&shy;&shy;cient d’&eacute;las&shy;&shy;ti&shy;&shy;cit&eacute;.
f est le coef&shy;&shy;fi&shy;&shy;cient de frot&shy;&shy;te&shy;&shy;ment vis&shy;&shy;queux.
J est le moment d’iner&shy;&shy;tie.
T0 est le couple de frot&shy;&shy;te&shy;&shy;ment sec.
D’autre part, en r&eacute;gime lin&eacute;aire :
15
FICHE 1
Magn&eacute;&shy;&shy;tisme : sys&shy;&shy;t&egrave;me &agrave; un seul bobi&shy;&shy;nage
Circuit magn&eacute;tique en saturation
Entrefer
0... 50 ms
C/p
�
100
R1
V
Vin
�
100
5mH
�
Fuites magn&eacute;tiques
1n
10
230*1.414 V
ϕ=0
Vflux
50 Hz
V
Circuit saturable
V
Fmm
Figure 1.2a Cir&shy;&shy;cuit magn&eacute;&shy;&shy;tique &agrave; un seul bobi&shy;&shy;nage en satu&shy;&shy;ra&shy;&shy;tion
La bobine comporte 100 spires. On a simul&eacute; (cf. la figure 1.2b) des fuites
magn&eacute;&shy;&shy;tiques et un entre&shy;&shy;fer. Aux bornes du cir&shy;&shy;cuit satu&shy;&shy;rable, on mesure la
force magn&eacute;&shy;&shy;to&shy;&shy;mo&shy;&shy;trice ε en A.t et le flux en Wb. La r&eacute;sis&shy;&shy;tance R1 &eacute;gale &agrave;
100 ohms sert &agrave; limi&shy;&shy;ter le cou&shy;&shy;rant fourni par la source de ten&shy;&shy;sion.
Simu&shy;&shy;la&shy;&shy;tion
Les r&eacute;sul&shy;&shy;tats sont pr&eacute;sent&eacute;s &agrave; la figure ci-&shy;dessous.
16
FICHE 1
Magn&eacute;&shy;&shy;tisme : sys&shy;&shy;t&egrave;me &agrave; un seul bobi&shy;&shy;nage
0.0008
0.0004
0
-0.0004
-0.0008
400
200
0
-200
-400
4
2
0
-2
-4
Vin
213,5 V
Vflux
0,000755 Wb
Fmm
313,5 A.t
I(R1)
3,2 A
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Time (s)
Figure 1.2b Courbes obte&shy;&shy;nues
On constate que la satu&shy;&shy;ra&shy;&shy;tion du flux &agrave;
0,000755 Wb (0,755 mWb) pro&shy;&shy;voque une
baisse de la ten&shy;&shy;sion d’entr&eacute;e Vin et une aug&shy;&shy;
men&shy;&shy;ta&shy;&shy;tion bru&shy;&shy;tale de la force magn&eacute;&shy;&shy;to&shy;&shy;mo&shy;&shy;
trice, qui cor&shy;&shy;res&shy;&shy;pond &agrave; un cou&shy;&shy;rant I(R1)
maximal de quelques amp&egrave;res (3,2 A), autant
dans la r&eacute;sis&shy;&shy;tance que dans le bobi&shy;&shy;nage.
Conseils
Le cir&shy;&shy;cuit magn&eacute;&shy;&shy;tique consi&shy;&shy;d&eacute;r&eacute; ici est form&eacute;
de t&ocirc;les de fer. Il est pos&shy;&shy;sible d’envi&shy;&shy;sa&shy;&shy;ger un
cir&shy;&shy;cuit magn&eacute;&shy;&shy;tique consti&shy;&shy;tu&eacute; de fer&shy;&shy;rite, qui
aurait des pro&shy;&shy;pri&eacute;&shy;&shy;t&eacute;s compa&shy;&shy;rables, bien que
le flux magn&eacute;&shy;&shy;tique obtenu par spire soit plus
faible.
Des exp&eacute;&shy;&shy;riences sur le cir&shy;&shy;cuit magn&eacute;&shy;&shy;tique &agrave;
un seul bobi&shy;&shy;nage peuvent &ecirc;tre men&eacute;es sur le
bobi&shy;&shy;nage induc&shy;&shy;teur d’une machine &agrave; cou&shy;&shy;rant
continu ou d’un alter&shy;&shy;nateur.
DOSSIER 1 : Le flux magn&eacute;&shy;&shy;tique dans les machines
100
50
0
-50
-100
17
Fiche 2
Magn&eacute;&shy;&shy;tisme : sys&shy;&shy;t&egrave;me
&agrave; deux bobi&shy;&shy;nages
Objec&shy;&shy;tifs
✓✓ Intro&shy;&shy;duc&shy;&shy;tion de la co&shy;&eacute;nergie avec un cir&shy;&shy;cuit magn&eacute;&shy;&shy;tique compor&shy;&shy;tant deux bobi&shy;&shy;nages
afin d’intro&shy;&shy;duire le couple moteur.
✓✓ Appli&shy;&shy;ca&shy;&shy;tion de cette m&eacute;thode dans le cas simple d’un moteur &eacute;l&eacute;&shy;&shy;men&shy;&shy;taire &agrave;
r&eacute;luctance variable &agrave; deux bobi&shy;&shy;nages.
✓✓ Expres&shy;&shy;sion de l’&eacute;qua&shy;&shy;tion m&eacute;ca&shy;&shy;nique et de l’&eacute;qua&shy;&shy;tion &eacute;lec&shy;&shy;trique d’un moteur &eacute;l&eacute;&shy;&shy;
men&shy;&shy;taire &agrave; un seul bobi&shy;&shy;nage.
Rep&egrave;res
Bilan des &eacute;ner&shy;&shy;gies mises en jeu
Pour obte&shy;&shy;nir un couple de valeur moyenne non nulle pour une p&eacute;riode de
rota&shy;&shy;tion, il faut dis&shy;&shy;po&shy;&shy;ser au moins de deux bobi&shy;&shy;nages dans la machine. On
uti&shy;&shy;lise encore la rela&shy;&shy;tion dWe = dWs + dWm. Ce qui donne :
dWe = ( e1 i1 + e2 i2 ) dt = dΦ1
dΦ 2
i1 dt +
i2 dt = i1 dΦ1 + i2 dΦ2
dt
dt
d’o&ugrave; dWe = i1 dΦ1 + i2 dΦ2 = dWs + dWm
Si dWm = 0, alors l’&eacute;ner&shy;&shy;gie emma&shy;&shy;ga&shy;&shy;si&shy;&shy;n&eacute;e est Ws
&sup3;&sup3;
i1 d)1 i2 d) 2
) 1,) 2
&sup3;&sup3; )
Et pour la co&shy;&eacute;nergie Wc 0
1
di1 ) 2 di2 car Ws + Wco = i1 Φ1 + i2 Φ2
i1, i 2
Il est pos&shy;&shy;sible de g&eacute;n&eacute;&shy;&shy;ra&shy;&shy;li&shy;&shy;ser pour le cas d’une machine compor&shy;&shy;tant n bobi&shy;&shy;
nages :
) 1,....) n n
Ws
&sup3;
0
&brvbar; ik d) k et Wco
k 1
i1,...in n
&sup3; &brvbar;)
0
k
dik .
k 1
S a v o i r - &shy;F a i r e
Expressions du couple
On a avec deux bobi&shy;&shy;nages : Ws = f( Φ1, Φ2, θ ) pour l’&eacute;ner&shy;&shy;gie emma&shy;&shy;ga&shy;&shy;si&shy;&shy;n&eacute;e.
18
Magn&eacute;&shy;&shy;tisme : sys&shy;&shy;t&egrave;me &agrave; deux bobi&shy;&shy;nages
On iden&shy;&shy;ti&shy;&shy;fie les d&eacute;ri&shy;&shy;v&eacute;es par&shy;&shy;tielles : dWs =
FICHE 2
∂ Ws
∂ Ws
∂ Ws
dΦ1 +
dΦ 2 +
dθ
∂ Φ1
∂ Φ2
∂θ
∂ Ws (Φ1 ,Φ 2 ,θ )
∂ Ws (Φ1 ,Φ 2 ,θ )
; i1 = +
et
∂ Φ1
∂θ
∂ Ws (Φ1 ,Φ 2 ,θ )
i2 = +
∂ Φ2
On obtient Te = −
Pour la co&shy;&eacute;nergie Wco= g( i1, i2, θ ). En pro&shy;&shy;c&eacute;&shy;&shy;dant comme ci-&shy;dessus, on obtient :
Te = +
∂ Wco ( i1 , i2 ,θ )
∂ Wco ( i1 , i2 ,θ )
∂ Wco ( i1 , i2 ,θ )
, Φ1 = +
et Φ 2 = +
∂ i2
∂θ
∂ i1
Te = −
∂ Ws ( Φ1, Φ2 , Φ n , θ )
∂ Wco ( i1, i2 , in , θ )
=+
∂θ
∂θ
Cas des sys&shy;&shy;t&egrave;mes lin&eacute;aires
Les cal&shy;&shy;culs sont plus simples en uti&shy;&shy;li&shy;&shy;sant la co&shy;&eacute;nergie : dWco = Φ1 di1+ Φ2 di2
En intro&shy;&shy;dui&shy;&shy;sant les inductances propres et l’inductance mutuelle :
dWco = (L1 i1 + M i2 ) di1+ (L2 i2 + M i1 ) di2 on obtient :
dWco = L1 i1 di1+ M ( i2 di1+ i1 di2 ) + L2 i2 di2
soit :
Wco = &frac12; L1 i1&sup2; + M i1 i2 + &frac12; L2 i2 &sup2;
ce qui donne sous forme matricielle :
1
2
&copy; Dunod – Toute reproduction non autoris&eacute;e est un d&eacute;lit.
[Wco ] = [i1
 L1 M   i1  1
i2 ] 
   = [ i ]t [L ] [ i ]
 M L2  i2  2
D’o&ugrave; la for&shy;&shy;mule du couple : Te =
∂ [Wco ] 1  ∂ [L ] 
= [ i ]t 
 [i ]
2  ∂θ 
∂θ
&Eacute;quation dyna&shy;&shy;mique d’un sys&shy;&shy;t&egrave;me lin&eacute;aire &agrave; deux
bobi&shy;&shy;nages
En r&eacute;gime lin&eacute;aire :
Φ1 = L1(θ) i1 + M(θ) i2
Φ2 = L2(θ) i2 + M(θ) i1
1  dL
dM 2 dL2 
Te =  i12 1 + 2 i1 i2
+ i2

2  dθ
dθ
dθ 
DOSSIER 1 : Le flux magn&eacute;&shy;&shy;tique dans les machines
G&eacute;n&eacute;&shy;&shy;ra&shy;&shy;li&shy;&shy;sa&shy;&shy;tion au cas d’une machine compor&shy;&shy;tant n bobi&shy;&shy;nages :
19
FICHE 2
Magn&eacute;&shy;&shy;tisme : sys&shy;&shy;t&egrave;me &agrave; deux bobi&shy;&shy;nages
t
tt
Te C (R R0 ) f R J R T0 (&eacute;qua&shy;&shy;tion m&eacute;ca&shy;&shy;nique)
Les &eacute;qua&shy;&shy;tions &eacute;lec&shy;&shy;triques peuvent se mettre sous la forme :
&ordf; E1 &ordm;
&laquo;E &raquo;
&not; 2&frac14;
&ordf;R1 0 &ordm; &ordf; i1 &ordm; &ordf; L1 M &ordm; d &ordf; i1 &ordm; x &shy;&deg; d
&laquo; 0 R &raquo; &laquo;i &raquo; &laquo; M L &raquo; dt &laquo;i &raquo; T &reg; dT
&deg;̄
2&frac14;&not; 2&frac14;
2&frac14;
&not;
&not;
&not; 2&frac14;
&ordf; L1 M &ordm; &frac12;&deg; &ordf; i1 &ordm;
&laquo; M L &raquo; &frac34; &laquo;i &raquo;
2 &frac14;&deg;
&not;
&iquest; &not; 2&frac14;
Ce qui cor&shy;&shy;res&shy;&shy;pond aux &eacute;qua&shy;&shy;tions matricielles sui&shy;&shy;vantes :
&gt;E @ &gt;R @&gt;i @ &ordf;&not;L T &ordm;&frac14;
et Te =
^ &gt; @` ^
`
x
d
d
i T
&ordf;L T &ordm;&frac14; &gt; i @
dt
dT &not;
∂ [Wco ] 1  ∂ [L ] 
= [ i ]t 
 [i ]
∂θ
2
 ∂θ 
E n p r a &shy;&shy;t i q u e
&Eacute;tude th&eacute;o&shy;&shy;rique d’un moteur &agrave; deux bobi&shy;&shy;nages
On consi&shy;&shy;d&egrave;re le moteur &agrave; r&eacute;luctance variable pr&eacute;&shy;&shy;sent&eacute; &agrave; la figure 2.1.
Y
β
θ
X
Rotor 0
α
Stator
Figure 2.1 Moteur &agrave; r&eacute;luctance variable &eacute;l&eacute;&shy;&shy;men&shy;&shy;taire
Le rotor est ovale et les deux bobi&shy;&shy;nages de la machine, not&eacute;s α et β et pla&shy;&shy;c&eacute;s
au sta&shy;&shy;tor, sont en qua&shy;&shy;dra&shy;&shy;ture. Le moteur est dit &laquo; &agrave; r&eacute;luctance variable &raquo; car
l’entre&shy;&shy;fer du cir&shy;&shy;cuit magn&eacute;&shy;&shy;tique cor&shy;&shy;res&shy;&shy;pon&shy;&shy;dant &agrave; chaque enrou&shy;&shy;le&shy;&shy;ment, varie
20
Magn&eacute;&shy;&shy;tisme : sys&shy;&shy;t&egrave;me &agrave; deux bobi&shy;&shy;nages
FICHE 2
avec l’angle θ. L’inductance &eacute;qui&shy;&shy;va&shy;&shy;lente par bobi&shy;&shy;nage est donc une fonc&shy;&shy;tion p&eacute;rio&shy;&shy;dique
de θ. La rela&shy;&shy;tion entre les flux et les cou&shy;&shy;rants est de la forme :
0   iα 
 Φα  Lα (θ )

Φ  =  0
Lβ (θ )  iβ 
 β 
avec LD T
LE T
L0 L' cos 2T et
S &ordm;&middot;
&sect; &ordf;
L0 L' cos &uml; 2 &laquo;T &raquo; &cedil; L0 L' cos 2T 2 &frac14;&sup1;
&copy; &not;
Wco =
1
iα
2
 iα 
iβ  L (θ )   
 iβ 
On obtient alors : Wco = &frac12; [L0 (iα&sup2;+iβ&sup2;) + L∆ cos(2θ) (iα&sup2; - iβ&sup2;)]
On veut &eacute;ta&shy;&shy;blir l’expres&shy;&shy;sion du couple &eacute;lec&shy;&shy;tro&shy;&shy;ma&shy;&shy;gn&eacute;&shy;&shy;tique du moteur, en fonc&shy;&shy;
∂ [Wco ]
tion de θ, selon les cou&shy;&shy;rants iα et iβ des bobi&shy;&shy;nages. On cal&shy;&shy;cule : Te =
∂θ
&agrave; cou&shy;&shy;rants constants. On obtient :
Te = - L∆ sin(2θ) (iα&sup2; - iβ&sup2;)] = L∆ sin(2θ) (iβ&sup2; - iα&sup2;)
Remarque : si le d&eacute;pha&shy;&shy;sage entre iβ et iα est nul ou un mul&shy;&shy;tiple de π/2, la
valeur moyenne du couple est nulle.
Pre&shy;&shy;nons le cas o&ugrave; :
iD T I 2 cos T
S&middot;
&sect;
iE T I 2 cos &uml; T &cedil; I 2 sin T
2&sup1;
&copy;
Alors Te = L∆ sin(2θ) (iβ&sup2; - iα&sup2;) = - 2 L∆ I&sup2; sin(2θ)
cos(2θ) = - L∆ I&sup2; sin(4θ). La valeur moyenne
d’une fonc&shy;&shy;tion sinu&shy;&shy;so&iuml;&shy;&shy;dale est nulle.
Conseils
Le cal&shy;&shy;cul du couple par cette m&eacute;thode est
sou&shy;&shy;vent long et fas&shy;&shy;ti&shy;&shy;dieux. Cepen&shy;&shy;dant, cette
m&eacute;thode se pr&ecirc;te bien &agrave; des exp&eacute;&shy;&shy;riences
simples ou des simu&shy;&shy;la&shy;&shy;tions. Elle est g&eacute;n&eacute;&shy;&shy;ra&shy;&shy;li&shy;&shy;
sable au cas des moteurs pas &agrave; pas.
Les r&eacute;sul&shy;&shy;tats obte&shy;&shy;nus sont assez loin des r&eacute;sul&shy;&shy;
tats th&eacute;o&shy;&shy;riques.
DOSSIER 1 : Le flux magn&eacute;&shy;&shy;tique dans les machines
La co&shy;&eacute;nergie est don&shy;&shy;n&eacute;e par :
21
Fiche 3
Sources &agrave; cou&shy;&shy;rant continu
Objec&shy;&shy;tifs
✓✓ Intro&shy;&shy;duire la notion de puis&shy;&shy;sance four&shy;&shy;nie par une source &agrave; cou&shy;&shy;rant continu.
✓✓ D&eacute;fi&shy;&shy;nir la conven&shy;&shy;tion r&eacute;cep&shy;&shy;teur d’un dip&ocirc;le.
✓✓ Pr&eacute;&shy;&shy;sen&shy;&shy;ter les divers types de sources.
✓✓ Pr&eacute;&shy;&shy;sen&shy;&shy;ter l’usage pos&shy;&shy;sible de ces sources dans des appli&shy;&shy;ca&shy;&shy;tions cou&shy;&shy;rantes.
Rep&egrave;res
La valeur de la ten&shy;&shy;sion U et du cou&shy;&shy;rant I sont ind&eacute;&shy;&shy;pen&shy;&shy;dantes du temps.
On appelle puis&shy;&shy;sance la quan&shy;&shy;tit&eacute; P = U I. Par d&eacute;fi&shy;&shy;ni&shy;&shy;tion, en conven&shy;&shy;tion r&eacute;cep&shy;&shy;
teur, la puis&shy;&shy;sance est posi&shy;&shy;tive lors&shy;&shy;qu’elle est re&ccedil;ue par un dip&ocirc;le.
Pour tester le fonc&shy;&shy;tion&shy;&shy;ne&shy;&shy;ment de cer&shy;&shy;tains sys&shy;&shy;t&egrave;mes, il faut sou&shy;&shy;vent uti&shy;&shy;li&shy;&shy;ser des
sources de ten&shy;&shy;sion conti&shy;&shy;nue r&eacute;glables. Dans la pra&shy;&shy;tique, l’exp&eacute;&shy;&shy;ri&shy;&shy;men&shy;&shy;ta&shy;&shy;teur se
sert :
ff Soit d’ali&shy;&shy;men&shy;&shy;ta&shy;&shy;tions (&eacute;lec&shy;&shy;tro&shy;&shy;niques) sta&shy;&shy;bi&shy;&shy;li&shy;&shy;s&eacute;es ; la ten&shy;&shy;sion est rigou&shy;&shy;reu&shy;&shy;se&shy;&shy;ment
constante en fonc&shy;&shy;tion du temps et r&eacute;glable de mani&egrave;re tr&egrave;s souple. (Il
n’est gu&egrave;re pos&shy;&shy;sible de d&eacute;pas&shy;&shy;ser 50 V, pour un cou&shy;&shy;rant maximal de 5 A,
soit une puis&shy;&shy;sance maximale de 250 W).
ff Soit d’ali&shy;&shy;men&shy;&shy;ta&shy;&shy;tions (&eacute;lec&shy;&shy;tro&shy;&shy;niques) &agrave; d&eacute;cou&shy;&shy;page ; la ten&shy;&shy;sion est asser&shy;&shy;vie
constante en fonc&shy;&shy;tion du temps et r&eacute;glable de mani&egrave;re tr&egrave;s souple. (Il
n’est gu&egrave;re pos&shy;&shy;sible de d&eacute;pas&shy;&shy;ser 50 V pour un cou&shy;&shy;rant maximal de 20 A,
soit une puis&shy;&shy;sance maximale de 1000 W). La plu&shy;&shy;part de ces ali&shy;&shy;men&shy;&shy;ta&shy;&shy;
tions sont pro&shy;&shy;gram&shy;&shy;mables.
ff Soit d’ali&shy;&shy;men&shy;&shy;ta&shy;&shy;tions (&eacute;lec&shy;&shy;tro&shy;&shy;niques) obte&shy;&shy;nues par redres&shy;&shy;se&shy;&shy;ment et fil&shy;&shy;trage ; la
ten&shy;&shy;sion est r&eacute;gl&eacute;e soit par un auto&shy;trans&shy;&shy;for&shy;&shy;ma&shy;&shy;teur, soit asser&shy;&shy;vie et alors
r&eacute;glable de mani&egrave;re tr&egrave;s souple. Selon la puis&shy;&shy;sance de l’ali&shy;&shy;men&shy;&shy;ta&shy;&shy;tion
mono&shy;&shy;pha&shy;&shy;s&eacute;e ou tri&shy;&shy;pha&shy;&shy;s&eacute;e du redres&shy;&shy;seur, et selon la taille des compo&shy;&shy;
sants &eacute;lec&shy;&shy;tro&shy;&shy;niques (diodes ou thy&shy;&shy;ris&shy;&shy;tors), il est pos&shy;&shy;sible d’obte&shy;&shy;nir des
ten&shy;&shy;sions tr&egrave;s &eacute;le&shy;&shy;v&eacute;es (jus&shy;&shy;qu’&agrave; 100 kV), de tr&egrave;s fortes inten&shy;&shy;si&shy;&shy;t&eacute;s (plu&shy;&shy;sieurs
milliers d’amp&egrave;res).
22
Sources &agrave; cou&shy;&shy;rant continu
FICHE 3
S a v o i r - &shy;F a i r e
Uti&shy;&shy;li&shy;&shy;sation d’une source &agrave; valeur moyenne
de ten&shy;&shy;sion non nulle.
Dans la pra&shy;&shy;tique, l’exp&eacute;&shy;&shy;ri&shy;&shy;men&shy;&shy;ta&shy;&shy;teur se sert :
ff
ff
cace de la ten&shy;&shy;sion sont r&eacute;glables de mani&egrave;re tr&egrave;s souple ;
Soit d’une ali&shy;&shy;men&shy;&shy;ta&shy;&shy;tion obte&shy;&shy;nue par une dynamo ; la valeur moyenne de la ten&shy;&shy;
sion est r&eacute;gl&eacute;e par le cou&shy;&shy;rant d’exci&shy;&shy;ta&shy;&shy;tion et par la vitesse de rota&shy;&shy;tion, de
mani&egrave;re tr&egrave;s souple. Les puis&shy;&shy;sances uti&shy;&shy;li&shy;&shy;sables d&eacute;pendent essen&shy;&shy;tiel&shy;&shy;le&shy;&shy;ment
de la puis&shy;&shy;sance nomi&shy;&shy;nale de la machine et du moteur d’entra&icirc;&shy;&shy;ne&shy;&shy;ment ;
Soit d’ali&shy;&shy;men&shy;&shy;ta&shy;&shy;tions obte&shy;&shy;nues par un alter&shy;&shy;nateur ; la valeur moyenne de la ten&shy;&shy;
sion est r&eacute;gl&eacute;e en fai&shy;&shy;sant varier le cou&shy;&shy;rant continu cir&shy;&shy;cu&shy;&shy;lant dans la roue
polaire de l’alter&shy;&shy;nateur. La ten&shy;&shy;sion conti&shy;&shy;nue est obte&shy;&shy;nue apr&egrave;s redres&shy;&shy;se&shy;&shy;
ment &agrave; diodes ou &agrave; thy&shy;&shy;ris&shy;&shy;tors. Sa valeur d&eacute;pend de la vitesse du moteur
d’entra&icirc;&shy;&shy;ne&shy;&shy;ment, et &eacute;ven&shy;&shy;tuel&shy;&shy;le&shy;&shy;ment, de la commande des thy&shy;&shy;ris&shy;&shy;tors.
E n p r a &shy;&shy;t i q u e
Va&shy;leur moyenne d’une gran&shy;&shy;deur p&eacute;rio&shy;&shy;dique
&copy; Dunod – Toute reproduction non autoris&eacute;e est un d&eacute;lit.
On appelle puis&shy;&shy;sance ins&shy;&shy;tanta&shy;&shy;n&eacute;e la quan&shy;&shy;tit&eacute; p(t) = v(t) i(t).
Par d&eacute;fi&shy;&shy;ni&shy;&shy;tion, la puis&shy;&shy;sance active re&ccedil;ue par un dip&ocirc;le, en conven&shy;&shy;tion r&eacute;cep&shy;&shy;
teur, (cf. figure 3.1) est don&shy;&shy;n&eacute;e par :
pmoy
p
&sect;1&middot;
P &uml; &cedil;
&copy;T &sup1;
t 0 T
&sup3; v t . i(t).dt
t0
i(t)
v(t)
Dip&ocirc;le
r&eacute;cepteur
Conseils
Les sources &laquo; &eacute;lec&shy;&shy;tro&shy;&shy;niques &raquo; (ali&shy;&shy;men&shy;&shy;ta&shy;&shy;tions
sta&shy;&shy;bi&shy;&shy;li&shy;&shy;s&eacute;es, &agrave; d&eacute;cou&shy;&shy;page) sont pro&shy;&shy;t&eacute;&shy;&shy;g&eacute;es
contre les sur&shy;&shy;in&shy;&shy;ten&shy;&shy;si&shy;&shy;t&eacute;s. Il est par&shy;&shy;fois pos&shy;&shy;sible
de les uti&shy;&shy;li&shy;&shy;ser &laquo; en limi&shy;&shy;ta&shy;&shy;tion de cou&shy;&shy;rant &raquo;
pour obte&shy;&shy;nir une source de cou&shy;&shy;rant.
Figure 3.1 Conven&shy;&shy;tion r&eacute;cep&shy;&shy;teur d’un dip&ocirc;le
DOSSIER 1 : Le flux magn&eacute;&shy;&shy;tique dans les machines
ff Soit d’ali&shy;&shy;men&shy;&shy;ta&shy;&shy;tions (&eacute;lec&shy;&shy;tro&shy;&shy;niques) de puis&shy;&shy;sance ; les valeurs moyenne et effi&shy;&shy;
La puis&shy;&shy;sance active est la valeur moyenne de p(t), et s’exprime en Watts (W).
Si le terme obtenu est n&eacute;ga&shy;&shy;tif, le dip&ocirc;le est g&eacute;n&eacute;&shy;&shy;ra&shy;&shy;teur.
23
Fiche 4
Sources &agrave; cou&shy;&shy;rant alter&shy;&shy;na&shy;&shy;tif
mono&shy;&shy;phas&eacute;
Objec&shy;&shy;tifs
✓✓ D&eacute;fi&shy;&shy;nir la notion de puis&shy;&shy;sance active et r&eacute;ac&shy;&shy;tive four&shy;&shy;nie par une source &agrave; cou&shy;&shy;rant
alter&shy;&shy;na&shy;&shy;tif mono&shy;&shy;phas&eacute;.
✓✓ Intro&shy;&shy;duire la notion de d&eacute;com&shy;&shy;po&shy;&shy;si&shy;&shy;tion en s&eacute;rie de Fourier.
✓✓ Expri&shy;&shy;mer alors les puis&shy;&shy;sances active, r&eacute;ac&shy;&shy;tive, appa&shy;&shy;rente et d&eacute;for&shy;&shy;mante.
Rep&egrave;res
Puis&shy;&shy;sance en r&eacute;gime sinu&shy;&shy;so&iuml;&shy;&shy;dal
En consi&shy;&shy;d&eacute;&shy;&shy;rant la figure 3.1 (Fiche N&deg; 3), on d&eacute;fi&shy;&shy;nit les expres&shy;&shy;sions des gran&shy;&shy;
deurs ins&shy;&shy;tanta&shy;&shy;n&eacute;es :
ff pour la ten&shy;&shy;sion : v (t) = V 2 cos (ω t )
ff pour le cou&shy;&shy;rant : ϕ est le retard de phase.
i(t) = I 2 cos (ω t − ϕ )
La puis&shy;&shy;sance active se cal&shy;&shy;cule avec la rela&shy;&shy;tion P = V I cos (ϕ ) (en W).
La puis&shy;&shy;sance r&eacute;ac&shy;&shy;tive est d&eacute;fi&shy;&shy;nie par Q = V I sin (ϕ )
L’unit&eacute; de la puis&shy;&shy;sance r&eacute;ac&shy;&shy;tive est le Volt - Amp&egrave;re r&eacute;ac&shy;&shy;tif (VAR).
La puis&shy;&shy;sance appa&shy;&shy;rente est obte&shy;&shy;nue par S =V I (en VA)
Entre les puis&shy;&shy;sances, la rela&shy;&shy;tion est : S&sup2; = P&sup2; + Q&sup2;
Le fac&shy;&shy;teur d’uti&shy;&shy;li&shy;&shy;sation fu devient le fac&shy;&shy;teur de puis&shy;&shy;sance et s’iden&shy;&shy;ti&shy;&shy;fie &agrave; cos φ.
Th&eacute;o&shy;&shy;r&egrave;me de Boucherot : il y a conser&shy;&shy;va&shy;&shy;tion de la puis&shy;&shy;sance r&eacute;ac&shy;&shy;tive Q en
r&eacute;gime sinu&shy;&shy;so&iuml;&shy;&shy;dal, dans un cir&shy;&shy;cuit &agrave; fr&eacute;&shy;&shy;quence unique et ne compor&shy;&shy;tant que
des imp&eacute;&shy;&shy;dances.
24
FICHE 4
Sources &agrave; cou&shy;&shy;rant alter&shy;&shy;na&shy;&shy;tif mono&shy;&shy;phas&eacute;
S a v o i r - &shy;F a i r e
D’une mani&egrave;re g&eacute;n&eacute;&shy;&shy;rale, les valeurs effi&shy;&shy;caces d’une ten&shy;&shy;sion et d’un cou&shy;&shy;rant
mono&shy;&shy;pha&shy;&shy;s&eacute;s sont d&eacute;fi&shy;&shy;nies &agrave; par&shy;&shy;tir de la puis&shy;&shy;sance active dis&shy;&shy;si&shy;&shy;p&eacute;e dans une
r&eacute;sis&shy;&shy;tance R :
p
P
1
T
En consi&shy;&shy;d&eacute;&shy;&shy;rant que P = R . Ieff2 =
t 0T
Ieff
1
.
T
&sup3;
t 0 T
&sup3;
R. i 2 (t).dt
t0
Veff2
R
1
T
t 0 T
&sup3;
t0
v 2 (t)
.dt
R
, on d&eacute;fi&shy;&shy;nit la valeur effi&shy;&shy;cace du cou&shy;&shy;rant
i 2 t .dt et la valeur effi&shy;&shy;cace de la ten&shy;&shy;sion Veff
t0
t 0T
1
.
T
&sup3; v t .dt .
2
t0
Remarque : les lois des mailles et des nœuds ne s’appliquent pas aux valeurs
effi&shy;&shy;caces.
E n p r a &shy;&shy;t i q u e
D&eacute;com&shy;&shy;po&shy;&shy;si&shy;&shy;tion en s&eacute;&shy;rie de Fourier
En &eacute;lectronique de puis&shy;&shy;sance, il est plus int&eacute;&shy;&shy;res&shy;&shy;sant d’&eacute;crire le d&eacute;ve&shy;&shy;lop&shy;&shy;pe&shy;&shy;ment
en s&eacute;rie de Fourier de la mani&egrave;re sui&shy;&shy;vante :
f
v (t) V0 &brvbar; Vk . 2.cos kZ.t T k &copy; Dunod – Toute reproduction non autoris&eacute;e est un d&eacute;lit.
k 1
V0 est la valeur moyenne de la ten&shy;&shy;sion v(t) et Vk est la valeur effi&shy;&shy;cace de l’har&shy;&shy;
b
mo&shy;&shy;nique de rang k. On a Vk . 2 = ak2 + bk2 et tg (θ k ) = k
ak
De m&ecirc;me, on &eacute;crit :
f
i(t) I0 &brvbar; Ik . 2.cos kZ.t Mk T k k 1
Le d&eacute;pha&shy;&shy;sage entre cou&shy;&shy;rant et ten&shy;&shy;sion cor&shy;&shy;res&shy;&shy;pon&shy;&shy;dant &agrave; l’har&shy;&shy;mo&shy;&shy;nique k est
ϕk.
La valeur moyenne de la ten&shy;&shy;sion v(t) est V0, et celle du cou&shy;&shy;rant est I0.
La valeur effi&shy;&shy;cace de v(t) est Veff2
f
V02 &brvbar; Vk2 .
DOSSIER 1 : Le flux magn&eacute;&shy;&shy;tique dans les machines
pmoy
k 1
25
FICHE 4
Sources &agrave; cou&shy;&shy;rant alter&shy;&shy;na&shy;&shy;tif mono&shy;&shy;phas&eacute;
La valeur effi&shy;&shy;cace de i(t) est Ieff2
f
I02 &brvbar; Ik2 .
k 1
La valeur de la puis&shy;&shy;sance appa&shy;&shy;rente est Seff&sup2; = Veff&sup2; Ieff&sup2;
On d&eacute;montre que la puis&shy;&shy;sance active est
don&shy;&shy;n&eacute;e par :
Conseils
f
Lors de l’usage exp&eacute;&shy;&shy;ri&shy;&shy;men&shy;&shy;tal d’une source,
bien veiller &agrave; ce qu’il reste &agrave; l’int&eacute;&shy;&shy;rieur de son
domaine d’appli&shy;&shy;ca&shy;&shy;tion.
Il est tou&shy;&shy;jours pr&eacute;&shy;&shy;f&eacute;&shy;&shy;rable que la source soit
&agrave; ten&shy;&shy;sion sinu&shy;&shy;so&iuml;&shy;&shy;dale, et m&ecirc;me &agrave; cou&shy;&shy;rant
sinu&shy;&shy;so&iuml;&shy;&shy;dal, car c’est ainsi que la puis&shy;&shy;sance
active est la mieux trans&shy;&shy;mise : il n’y a pas de
&laquo; pertes &raquo; pro&shy;&shy;vo&shy;&shy;qu&eacute;es par les har&shy;&shy;mo&shy;&shy;niques.
En effet, si la ten&shy;&shy;sion est sinu&shy;&shy;so&iuml;&shy;&shy;dale &laquo; pure &raquo; :
v(t ) = V 2 cos (ω.t )
Alors, m&ecirc;me si le cou&shy;&shy;rant n’est pas sinu&shy;&shy;so&iuml;&shy;&shy;dal,
il est possible d’&eacute;crire :
P = V I1 cos (ϕ 1 )
Q V I1 sin M 1 Ieff2
f
I02 &brvbar; Ik2 .
k 1
S
26
V . Ieff2
f
&ordf;
&ordm;
V &laquo;I02 &brvbar; Ik2 .&raquo;
k 1
&not;
&frac14;
P V0 . Io &brvbar; Vk .Ik .cos Mk (en W)
k 1
Une d&eacute;fi&shy;&shy;ni&shy;&shy;tion de la puis&shy;&shy;sance r&eacute;ac&shy;&shy;tive est la
sui&shy;&shy;vante :
f
Q
&brvbar; V .I .sin M (en VAR)
k k
k
k 1
La puis&shy;&shy;sance d&eacute;for&shy;&shy;mante D est d&eacute;fi&shy;&shy;nie de la
mani&egrave;re sui&shy;&shy;vante :
S&sup2; = P&sup2; + Q&sup2; + D&sup2;
ce qui donne :
D = S 2 − (P 2 + Q2 )
Source &agrave; cou&shy;&shy;rant alter&shy;&shy;na&shy;&shy;tif tri&shy;&shy;phas&eacute;
Fiche 5
Objec&shy;&shy;tifs
✓✓ D&eacute;fi&shy;&shy;nir la notion de puis&shy;&shy;sance active et r&eacute;ac&shy;&shy;tive four&shy;&shy;nie par une source &agrave; cou&shy;&shy;rant
alter&shy;&shy;na&shy;&shy;tif tri&shy;&shy;phas&eacute;.
✓✓ Intro&shy;&shy;duire la notion de d&eacute;com&shy;&shy;po&shy;&shy;si&shy;&shy;tion en s&eacute;rie de Fourier.
Rep&egrave;res
ia(t)
ib(t)
ic(t)
va(t)
Charge
triphas&eacute;e
vb(t)
vc(t)
Neutre
Figure 5.1 Ali&shy;&shy;men&shy;&shy;ta&shy;&shy;tion d’une charge tri&shy;&shy;pha&shy;&shy;s&eacute;e
Dans ce cas, en consi&shy;&shy;d&eacute;&shy;&shy;rant la figure 5.1, on d&eacute;fi&shy;&shy;nit les gran&shy;&shy;deurs sui&shy;&shy;vantes :
ff pour les ten&shy;&shy;sions :
v a (t) V 2 cos Z t 2S
&sect;
v b (t) V 2 cos &uml; Z t 3
&copy;
2S
&sect;
v c (t) V 2 cos &uml; Z t 3
&copy;
&middot;
&cedil;
&sup1;
&middot;
&cedil;
&sup1;
DOSSIER 1 : Le flux magn&eacute;&shy;&shy;tique dans les machines
✓✓ Expri&shy;&shy;mer alors les puis&shy;&shy;sances active, r&eacute;ac&shy;&shy;tive, appa&shy;&shy;rente et d&eacute;for&shy;&shy;mante.
27
FICHE 5
Source &agrave; cou&shy;&shy;rant alter&shy;&shy;na&shy;&shy;tif tri&shy;&shy;phas&eacute;
ff pour les cou&shy;&shy;rants : ϕ est le retard de phase.
ia (t) I 2 cos Z t M 2S
&middot;
&sect;
M &cedil;
ib (t) I 2 cos &uml; Z t 3
&sup1;
&copy;
2S
&middot;
&sect;
M &cedil;
ic (t) I 2 cos &uml; Z t 3
&sup1;
&copy;
La puis&shy;&shy;sance active se cal&shy;&shy;cule par la rela&shy;&shy;tion P = 3 V I cos ϕ (en W)
La puis&shy;&shy;sance r&eacute;ac&shy;&shy;tive vaut Q = 3 V I sin ϕ ⋅ (en VAR).
La puis&shy;&shy;sance appa&shy;&shy;rente est obte&shy;&shy;nue par S = 3 V I (en VA)
Entre les puis&shy;&shy;sances, la rela&shy;&shy;tion est :
S&sup2; = P&sup2; + Q&sup2;
Le fac&shy;&shy;teur d’uti&shy;&shy;li&shy;&shy;sation fu devient le fac&shy;&shy;teur de puis&shy;&shy;sance et s’iden&shy;&shy;ti&shy;&shy;fie &agrave; cos φ.
Comme en mono&shy;&shy;phas&eacute;, la puis&shy;&shy;sance appa&shy;&shy;rente nomi&shy;&shy;nale SN d&eacute;ter&shy;&shy;mine le
dimensionnement des machines et des conver&shy;&shy;tis&shy;&shy;seurs.
S a v o i r - &shy;F a i r e
Puis&shy;&shy;sance ins&shy;&shy;tanta&shy;&shy;n&eacute;e en r&eacute;gime sinu&shy;&shy;so&iuml;&shy;&shy;dal
&eacute;qui&shy;&shy;li&shy;&shy;br&eacute;
Cal&shy;&shy;cu&shy;&shy;lons la puis&shy;&shy;sance ins&shy;&shy;tanta&shy;&shy;n&eacute;e : p = v a (t).ia (t) + v b (t).ib (t) + v c (t).ic (t) .
On obtient :
p
2S &middot;
2S &middot;
2S &middot;
&ordf;
&sect;
&sect;
&sect;
&sect;
2 VI &laquo;cos Z t cos Z t M cos &uml; Z t &cedil; cos &uml; Z t M &cedil; cos &uml; Z t &cedil; cos &uml; Z t 3 &sup1;
3 &sup1;
3 &sup1;
&copy;
&copy;
&copy;
&copy;
&not;
2S &middot;
2S &middot;
2S &middot; &ordm;
2S &middot;
&ordf;
&sect;
&sect;
&sect;
&sect;
2 VI &laquo;cos Z t cos Z t M cos &uml; Z t &cedil; cos &uml; Z t M &cedil; cos &uml; Z t &cedil; cos &uml; Z t M &cedil;
3 &sup1;
3 &sup1;
3 &sup1; &raquo;&frac14;
3 &sup1;
&copy;
&copy;
&copy;
&copy;
&not;
Ce qui donne :
4S &middot;
4S &middot; &ordm;
&ordf;
&sect;
&sect;
p VI &laquo;cosM cos 2Z t M cosM cos &uml; 2Z t M &cedil; cosM cos &uml; 2Z t M &cedil;
3 &sup1;
3 &sup1; &raquo;&frac14;
&copy;
&copy;
&not;
4S &middot;
4S &middot; &ordm;
&ordf;
&sect;
&sect;
p VI &laquo;cosM cos 2Z t M cosM cos &uml; 2Z t M &cedil; cosM cos &uml; 2Z t M &cedil;
3 &sup1;
3 &sup1; &raquo;&frac14;
&copy;
&copy;
&not;
soit p = P = 3 V I cos ϕ.
28
Source &agrave; cou&shy;&shy;rant alter&shy;&shy;na&shy;&shy;tif tri&shy;&shy;phas&eacute;
FICHE 5
En r&eacute;gime tri&shy;&shy;phas&eacute; sinu&shy;&shy;so&iuml;&shy;&shy;dal &eacute;qui&shy;&shy;li&shy;&shy;br&eacute;, la puis&shy;&shy;sance ins&shy;&shy;tanta&shy;&shy;n&eacute;e est &eacute;gale &agrave;
la puis&shy;&shy;sance active.
Puis&shy;&shy;sance moyenne
Par d&eacute;fi&shy;&shy;ni&shy;&shy;tion, la puis&shy;&shy;sance active re&ccedil;ue en conven&shy;&shy;tion r&eacute;cep&shy;&shy;teur est don&shy;&shy;n&eacute;e
par :
p
P
t 0 T
&sup3;
( v a (t).ia (t) v b (t).ib (t) v c (t).ic (t)).dt
t0
La puis&shy;&shy;sance active est la valeur moyenne de p(t) et s’exprime en Watts (W). Si
le terme obtenu est n&eacute;ga&shy;&shy;tif, on a affaire &agrave; un g&eacute;n&eacute;&shy;&shy;ra&shy;&shy;teur tri&shy;&shy;phas&eacute;.
Une d&eacute;fi&shy;&shy;ni&shy;&shy;tion pos&shy;&shy;sible de la puis&shy;&shy;sance r&eacute;ac&shy;&shy;tive consiste &agrave; consi&shy;&shy;d&eacute;&shy;&shy;rer qu’elle
r&eacute;sulte d’une valeur moyenne de termes ana&shy;&shy;logues &agrave; la puis&shy;&shy;sance ins&shy;&shy;tanta&shy;&shy;
n&eacute;e, o&ugrave; les ten&shy;&shy;sions sont retar&shy;&shy;d&eacute;es de π/2. Mais il est n&eacute;ces&shy;&shy;saire que les formes
d’onde des ten&shy;&shy;sions soient sinu&shy;&shy;so&iuml;&shy;&shy;dales. On uti&shy;&shy;lise alors la rela&shy;&shy;tion :
Q
1
T
t 0 T
&sup3;
(va (t t0
T
T
T
).ia (t) v b ( t ).ib (t) v c ( t ).ic (t)).dt
4
4
4
On verra qu’en uti&shy;&shy;li&shy;&shy;sant la trans&shy;&shy;for&shy;&shy;ma&shy;&shy;tion de Concordia (voir la Fiche N&deg; 6),
une autre d&eacute;fi&shy;&shy;ni&shy;&shy;tion de la puis&shy;&shy;sance r&eacute;ac&shy;&shy;tive est pos&shy;&shy;sible.
E n p r a &shy;&shy;t i q u e
&copy; Dunod – Toute reproduction non autoris&eacute;e est un d&eacute;lit.
D&eacute;com&shy;&shy;po&shy;&shy;si&shy;&shy;tion en s&eacute;&shy;rie de Fourier en tri&shy;&shy;phas&eacute;
On consi&shy;&shy;d&egrave;re que chaque g&eacute;n&eacute;&shy;&shy;ra&shy;&shy;teur four&shy;&shy;nit un sys&shy;&shy;t&egrave;me de ten&shy;&shy;sions p&eacute;rio&shy;&shy;
diques va(t), vb(t), vc(t), non sinu&shy;&shy;so&iuml;&shy;&shy;dales, d&eacute;ca&shy;&shy;l&eacute;es entre elles d’un tiers de p&eacute;riode.
En uti&shy;&shy;li&shy;&shy;sant le th&eacute;o&shy;&shy;r&egrave;me de Fourier, on &eacute;crit pour cha&shy;&shy;cune des phases :
f
v a (t) V 2 cos Z t &brvbar; Vk 2 cos kZ t T k k 2
D’autre part, on a :
2.S &middot; f
&sect;
v b (t) V 2 cos &uml; Z t &cedil; &brvbar; Vk
3 &sup1; k 2
&copy;
2S &middot;
&ordf; &sect;
&ordm;
2.cos &laquo;k &uml; Z t &cedil; Tk &raquo;
3 &sup1;
&not; &copy;
&frac14;
et enfin :
2.S
&sect;
v c (t) V 2 cos &uml; Z t 3
&copy;
2.S
&ordf; &sect;
&middot; f
&cedil; &brvbar; Vk 2 cos &laquo;k &uml; Z t 3
&sup1; k 2
&not; &copy;
&ordm;
&middot;
&cedil; Tk &raquo;
&sup1;
&frac14;
DOSSIER 1 : Le flux magn&eacute;&shy;&shy;tique dans les machines
pmoy
1
T
29
FICHE 5
Source &agrave; cou&shy;&shy;rant alter&shy;&shy;na&shy;&shy;tif tri&shy;&shy;phas&eacute;
De m&ecirc;me, on &eacute;crit :
f
ia (t) I 2 cos Zt M &brvbar; Ik 2 cos kZ.t Mk T k k 2
De m&ecirc;me, pour les autres phases :
2S
2S &middot;
&ordf; &sect;
&ordm;
&sect;
&middot; f
ib (t) I 2 cos &uml; Zt M &cedil; &brvbar; Ik 2.cos &laquo;k &uml; Z t &cedil; Mk T k &raquo;
3
3 &sup1;
&copy;
&sup1; k 2
&not; &copy;
&frac14;
2S
2S
&ordf; &sect;
&sect;
&middot; f
ic (t) I 2 cos &uml; Zt M &cedil; &brvbar; Ik 2.cos &laquo;k &uml; Z t 3
3
&copy;
&sup1; k 2
&not; &copy;
&ordm;
&middot;
&cedil; Mk T k &raquo;
&sup1;
&frac14;
Le d&eacute;pha&shy;&shy;sage cor&shy;&shy;res&shy;&shy;pon&shy;&shy;dant &agrave; l’har&shy;&shy;mo&shy;&shy;nique k entre cou&shy;&shy;rant et ten&shy;&shy;sion d’une
phase don&shy;&shy;n&eacute;e est φk.
La valeur effi&shy;&shy;cace de v(t) est Veff2
k 2
Conseils
La valeur effi&shy;&shy;cace de i(t) est Ieff2
Comme en mono&shy;&shy;phas&eacute;, lors de l’usage exp&eacute;&shy;&shy;ri&shy;&shy;
men&shy;&shy;tal d’une source, bien veiller &agrave; ce qu’il reste
&agrave; l’int&eacute;&shy;&shy;rieur de son domaine d’appli&shy;&shy;ca&shy;&shy;tion.
Il est tou&shy;&shy;jours pr&eacute;&shy;&shy;f&eacute;&shy;&shy;rable que la source soit
&agrave; ten&shy;&shy;sion sinu&shy;&shy;so&iuml;&shy;&shy;dale, et m&ecirc;me &agrave; cou&shy;&shy;rant
sinu&shy;&shy;so&iuml;&shy;&shy;dal, car c’est ainsi que la puis&shy;&shy;sance
active est la mieux trans&shy;&shy;mise : il n’y a pas de
&laquo; pertes &raquo; pro&shy;&shy;vo&shy;&shy;qu&eacute;es par les har&shy;&shy;mo&shy;&shy;niques.
En effet, si le sys&shy;&shy;t&egrave;me des trois ten&shy;&shy;sions est
sinu&shy;&shy;so&iuml;&shy;&shy;dal &laquo; pur &raquo; et &eacute;qui&shy;&shy;li&shy;&shy;br&eacute; de valeur effi&shy;&shy;
cace V :
En consi&shy;&shy;d&eacute;&shy;&shy;rant :
• Que la forme d’onde des cou&shy;&shy;rants est
la m&ecirc;me pour chaque phase &agrave; un tiers de
p&eacute;riode pr&egrave;s ;
2
• Que la valeur effi&shy;&shy;cace Ieff
f
I02 &brvbar; Ik2 . est
k 1
iden&shy;&shy;tique pour chaque phase ; alors :
P = 3V I1 cos (ϕ 1 )
Q = 3 V I1 sin (ϕ 1 )
&ordf; &ordf; 2 f f 2 2&ordm; &ordm;
V. 2..Ieff2Ieff2 =99
9V SSS 2 9=9V9V VV 2 &laquo;I&laquo;02I0&brvbar;
&brvbar;IkI.k&raquo;.&raquo;
&not; &not; k k1 1 &frac14; &frac14;
30
f
V 2 &brvbar; Vk2 .
f
I 2 &brvbar; Ik2 .
k 2
La valeur de la puis&shy;&shy;sance appa&shy;&shy;rente est alors
Seff&sup2; = 3⋅Veff&sup2; Ieff&sup2;
On d&eacute;montre que la puis&shy;&shy;sance active est don&shy;&shy;
n&eacute;e par :
f
P
3 V I cos M &brvbar; 3Vk Ik cos Mk k 2
Par d&eacute;fi&shy;&shy;ni&shy;&shy;tion, la puis&shy;&shy;sance r&eacute;ac&shy;&shy;tive est don&shy;&shy;
n&eacute;e par :
f
Q
3V I sin M &brvbar; 3Vk Ik sin Mk k 2
La puis&shy;&shy;sance d&eacute;for&shy;&shy;mante D est &eacute;ga&shy;&shy;le&shy;&shy;ment
d&eacute;fi&shy;&shy;nie de la mani&egrave;re sui&shy;&shy;vante :
D = S 2 − (P 2 + Q2 )
">
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